Переходная характеристика: задачи с пошаговыми решениями
Бесплатные задачи по теме Переходная характеристика с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: системы первого порядка, параметры второго порядка, физические системы и проектирование.
Бесплатная задачаЛёгкая
Незаряженный конденсатор C = 47 µF заряжается от источника ступенчатого напряжения 5 V через резистор R = 4,7 kΩ. Найдите напряжение на конденсаторе vC при t = 220,9 ms.
Ступенька — это вход, который в момент t = 0 скачком переходит от 0 к постоянному значению и остаётся там. Представьте включение нагревателя или нажатие педали акселератора с удержанием.
Переходная характеристика показывает, как следует выход. Он не может скакнуть сразу: он движется к новому конечному значению y(∞) и устанавливается там.
Кривая a поднимается плавно и никогда не перерегулируется. Это система первого порядка, как RC-цепь или нагреваемый бак.
Кривая b перерегулируется, колеблется несколько раз и затем устанавливается. Это недодемпфированная система второго порядка, как подвеска автомобиля или груз на пружине.
Конечное значение определяется статическим коэффициентом усиления G(0): ступенька величиной U устанавливается на уровне y(∞) = G(0)·U. Это теорема о конечном значении для преобразований Лапласа.
Самопроверка Система G(s) = 3/(2s + 1) получает ступеньку величиной 4. Чему равно конечное значение y(∞)?
12
3
4
6
Ответ: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, поэтому y(∞) = 3·4 = 12. Значение 4 забывает усиление, 3 забывает величину ступеньки, а 6 делит на 2 в 2s, которая исчезает при s = 0.
2Системы первого порядка
Система первого порядка имеет стандартный вид ниже. K — статический коэффициент усиления, τ — постоянная времени в секундах.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Если G(s) записана как b/(s + a), разделите числитель и знаменатель на a. Тогда K = b/a и τ = 1/a.
Через 1τ выход проходит 63% своего изменения, через 3τ — 95%, через 5τ — более 99%.
Время достижения доли x конечного значения: t = −τ·ln(1 − x). Для 90% t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Время нарастания от 10 до 90% равно tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Для RC-цепи τ = R·C. Заметьте, что kΩ на µF дают миллисекунды.
Если вы измерили отклик, τ можно найти в обратную сторону. Если выход достиг доли x в момент t, то τ = −t/ln(1 − x).
Разобранный пример
G(s) = 10/(s + 5) получает ступеньку величиной 2 при t = 0. Найдите конечное значение и время достижения 90% от него.
1
Стандартный вид
Разделите числитель и знаменатель на 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Конечное значение
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Время до 90%
Решите 1 − e−t/τ = 0,9, значит e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Ответ
y(∞) = 4, а выход достигает 90% через t ≈ 0,461 s.
Самопроверка Чему равна постоянная времени G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Ответ: 0,2 s. В виде 2/(0,2s + 1) постоянная времени равна τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s путает τ с a, а 2 — это коэффициент усиления K, а не время.
3Системы второго порядка
У системы второго порядка квадратный знаменатель. Сравните его со стандартным видом:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Свободный член равен ωn², поэтому собственная частота равна ωn = √(свободный член), в rad/s.
Коэффициент при s равен 2ζωn, поэтому коэффициент демпфирования равен ζ = (коэффициент при s)/(2ωn).
При 0 < ζ < 1 отклик перерегулируется и колеблется. Чем меньше ζ, тем больше перерегулирование.
Для единичной ступеньки конечное значение равно G(0) = K/ωn². Форму отклика описывают пять чисел:
ωd — демпфированная частота: как быстро колеблется отклик.
tp — время пика, когда выход наибольший. %OS — процент перерегулирования выше конечного значения.
ts — время установления, после которого выход остаётся в пределах 2% от конечного значения.
Два полюса s = σ ± jωd, с вещественной частью σ = −ζωn. Их расстояние от начала координат равно ωn, а cos θ = ζ.
Самопроверка Знаменатель системы s² + 4s + 25. Чему равен коэффициент демпфирования ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Ответ: 0,4. ωn = √25 = 5, а 2ζωn = 4 даёт ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 забывает 2, 0,08 делит на ωn² вместо ωn, а 2 — это ζωn.
4Метод по шагам
Определите порядок: знаменатель степени 1 — первый порядок, степени 2 — второй порядок.
Первый порядок: запишите G(s) как K/(τs + 1) и считайте K и τ.
Второй порядок: сравните знаменатель с s² + 2ζωns + ωn². Сначала найдите ωn, затем ζ.
Найдите конечное значение y(∞) = G(0)·U.
Примените формулу для искомой величины: y(t), время, tp, %OS, ts или σ.
Проверьте единицы: время в секундах, ω в rad/s, а угол в формулах с e… и π — в радианах.
5Разобранный пример
Это типичный вопрос среднего уровня. Попробуйте каждый шаг, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) получает единичную ступеньку. Найдите ζ, ωn, процент перерегулирования и время пика.
1
Собственная частота
Свободный член равен ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Коэффициент демпфирования
Коэффициент при s равен 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ лежит между 0 и 1, поэтому отклик перерегулируется.
3
Процент перерегулирования
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Время пика
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Проверьте ответ
Конечное значение G(0) = 16/16 = 1, поэтому пик около 1,163. Рисунок в предыдущем разделе использует эту же систему.
Время установления 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s позже пика, как и должно быть.
Ответ
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% и tp ≈ 0,907 s.
6Типичные ошибки
Считать нарастание линейным. Экспонента достигает 90% через 2,3τ, а не через 0,9τ: используйте t = −τ·ln(1 − x).
Использование ln(x) вместо ln(1 − x). Логарифм берёт ещё недостающую часть.
Чтение τ = a из b/(s + a). Постоянная времени равна 1/a.
Использование ωn² как ωn. Извлеките квадратный корень из свободного члена.
Забытая 2 в 2ζωn или использование ωn вместо ωd в tp = π/ωd.
Указано перерегулирование как доля (0,163), когда вопрос требует проценты (16,3%).
Самопроверка G(s) = 2/(s + 4) получает ступеньку. Сколько времени выходу нужно, чтобы достичь 90% конечного значения?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Ответ: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s и t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s считает нарастание линейным (0,9τ). 0,026 s использует ln(0,9) вместо ln(0,1). 9,21 s использует a = 4 вместо τ.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: системы первого порядка. Вы находите y(∞), выход в заданный момент, время достижения процента, τ по измеренной точке или время заряда RC-цепи.
Средняя: параметры второго порядка. По G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) вы находите ζ, ωn, %OS, tp, ts или вещественную часть σ полюсов.
Сложная: физические системы и проектирование. Система масса–пружина–демпфер или RLC-цепь, либо ζ и ωn, восстановленные по измеренному перерегулированию и времени пика.
Для массы m, демпфера c и пружины k уравнение m·x″ + c·x′ + k·x = F даёт:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Чтобы вернуться от перерегулирования, решите формулу %OS относительно ζ:
Система первого порядка G(s) = 2/(2s + 1) получает на вход ступеньку величиной 2 при t = 0, начиная из состояния покоя. Найдите конечное значение y(∞) выхода.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Найти: y(∞)
Показать подсказки
Теорема о конечном значении: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) — статический коэффициент передачи.
G(0) = 2.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходная характеристика: система первого порядка G(s) = K/(τs + 1) отвечает на ступеньку величиной U сигналом y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): за одну постоянную времени τ она достигает 63,2 % конечного значения K·U, а за 4τ — 98 %. Система второго порядка G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) имеет полюсы s = −ζωₙ ± jωd, где ωd = ωₙ√(1 − ζ²). При 0 < ζ < 1 переходная характеристика перерегулируется: перерегулирование %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), время пика tp = π/ωd, а время установления по критерию 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Сравните знаменатель с s² + 2ζωₙs + ωₙ², чтобы найти ωₙ и ζ. Для системы масса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) и ζ = c/(2√(km)); для последовательной RLC-цепи ωₙ = 1/√(LC) и ζ = (R/2)·√(C/L).
Статический коэффициент передачи
G(0) = 2
Конечное значение
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Ответ
y(∞) = 4
Пример 2Средняя
Система имеет передаточную функцию G(s) = 213/(s² + 8s + 71) и получает на вход единичную ступеньку. Найдите перерегулирование %OS переходной характеристики в процентах.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Найти: %OS(%)
Показать подсказки
Сравните знаменатель с s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходная характеристика: система первого порядка G(s) = K/(τs + 1) отвечает на ступеньку величиной U сигналом y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): за одну постоянную времени τ она достигает 63,2 % конечного значения K·U, а за 4τ — 98 %. Система второго порядка G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) имеет полюсы s = −ζωₙ ± jωd, где ωd = ωₙ√(1 − ζ²). При 0 < ζ < 1 переходная характеристика перерегулируется: перерегулирование %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), время пика tp = π/ωd, а время установления по критерию 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Сравните знаменатель с s² + 2ζωₙs + ωₙ², чтобы найти ωₙ и ζ. Для системы масса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) и ζ = c/(2√(km)); для последовательной RLC-цепи ωₙ = 1/√(LC) и ζ = (R/2)·√(C/L).
Сравните со стандартной формой
Знаменатель должен совпадать с s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Результат
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Ответ
%OS = 18,37 %
Пример 3Сложная
Масса m = 2,5 kg подвешена на пружине k = 800 N/m с вязким демпфером c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Из состояния покоя в равновесии внезапно прикладывается постоянная сила F = 10 N. Найдите момент времени tp, когда смещение наибольшее.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Найти: tp(s)
Показать подсказки
Разделите на m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, поэтому ωₙ = √(k/m) и ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Конечное смещение равно F/k = 12,5 mm.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходная характеристика: система первого порядка G(s) = K/(τs + 1) отвечает на ступеньку величиной U сигналом y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): за одну постоянную времени τ она достигает 63,2 % конечного значения K·U, а за 4τ — 98 %. Система второго порядка G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) имеет полюсы s = −ζωₙ ± jωd, где ωd = ωₙ√(1 − ζ²). При 0 < ζ < 1 переходная характеристика перерегулируется: перерегулирование %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), время пика tp = π/ωd, а время установления по критерию 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Сравните знаменатель с s² + 2ζωₙs + ωₙ², чтобы найти ωₙ и ζ. Для системы масса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) и ζ = c/(2√(km)); для последовательной RLC-цепи ωₙ = 1/√(LC) и ζ = (R/2)·√(C/L).
Собственная частота и коэффициент демпфирования
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Результат
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Ответ
tp = 0,1765 s
Вопросы и ответы
Переходная характеристика: что это?
Кривая a поднимается плавно и никогда не перерегулируется. Это система первого порядка, как RC-цепь или нагреваемый бак.
Кривая b перерегулируется, колеблется несколько раз и затем устанавливается. Это недодемпфированная система второго порядка, как подвеска автомобиля или груз на пружине.
Переходная характеристика: как решать задачи шаг за шагом?
Переходная характеристика: система первого порядка G(s) = K/(τs + 1) отвечает на ступеньку величиной U сигналом y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): за одну постоянную времени τ она достигает 63,2 % конечного значения K·U, а за 4τ — 98 %. Система второго порядка G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) имеет полюсы s = −ζωₙ ± jωd, где ωd = ωₙ√(1 − ζ²). При 0 < ζ < 1 переходная характеристика перерегулируется: перерегулирование %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), время пика tp = π/ωd, а время установления по критерию 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Сравните знаменатель с s² + 2ζωₙs + ωₙ², чтобы найти ωₙ и ζ. Для системы масса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) и ζ = c/(2√(km)); для последовательной RLC-цепи ωₙ = 1/√(LC) и ζ = (R/2)·√(C/L).
Переходная характеристика: какие ошибки самые частые?
Выход устанавливается на уровне K·U, а не U: статический коэффициент передачи G(0) = 2.
Выразите перерегулирование в процентах: умножьте на 100.
Показатель степени равен −ζπ/√(1 − ζ²).
Переходная характеристика: что вы тренируете?
Лёгкая: системы первого порядка
Средняя: параметры второго порядка
Сложная: физические системы и проектирование
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.