Теория управления 1: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Первый курс по автоматическому управлению: преобразования Лапласа и передаточные функции, структурные схемы, переходные процессы, устойчивость по критерию Рауса–Гурвица и корневой годограф, установившаяся ошибка, ПИД-регулирование и частотные характеристики. Большинство экзаменационных задач начинается с передаточной функции и требует найти полюс, коэффициент усиления или показатель качества.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Преобразования Лапласатаблица пар и теоремы о значениях · обратное преобразование разложением на простые дроби · Дифференциальные уравнения и передаточные функциирасчёты
  2. Структурные схемыпоследовательное, параллельное соединение и обратная связь · передаточные функции замкнутых систем и ошибки · возмущения, устойчивость и полюсырасчёты
  3. Переходная характеристикасистемы первого порядка · параметры второго порядка · физические системы и проектированиерасчёты
  4. Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографТаблица Рауса и число полюсов · диапазон K для устойчивости · корневой годографрасчёты
  5. Установившаяся ошибка и ПИД-регулированиетип системы и коэффициенты ошибок · установившиеся ошибки и коэффициент усиления · синтез П-, ПИ- и ПД-регулятороврасчёты
  6. Диаграммы Боде и запасыфильтры и асимптоты · модуль и фаза · запасы устойчивостирасчёты

Советы к экзамену: Теория управления 1

  • Сначала запишите характеристический полином замкнутой системы: из него следуют устойчивость, демпфирование и корневой годограф.
  • Прежде чем вычислять установившуюся ошибку, посчитайте полюса в точке s = 0: тип системы показывает, какая ошибка конечна.
  • Сравните знаменатель второго порядка с s² + 2ζωₙs + ωₙ², чтобы найти коэффициент демпфирования и собственную частоту.

Разобранные примеры

Преобразования ЛапласаЛёгкая
t (s)f(t)f(∞) = ?

Сигнал f(t) имеет преобразование Лапласа F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). С помощью теоремы о конечном значении найдите значение f(∞), к которому приходит f(t).

F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))

Найти: f(∞)

Показать подсказки
  1. Теорема о конечном значении: f(∞) = lim s·F(s) при s → 0.
  2. Сначала проверьте, что все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости, чтобы f(t) действительно установилась.
  3. s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Показать ответ и пошаговое решение

Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Проверьте применимость теоремы

Теорема верна только когда f(t) устанавливается; полюс на мнимой оси или в правой полуплоскости дал бы неверный ответ.

Полюсы s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, все в левой полуплоскости.

Конечное значение

f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1,217

Ответ

f(∞) = 1,217
Структурные схемыСредняя
R(s)+1(s + 3)(s + 2)(s + 4)G(s)C(s)−

У контура с единичной отрицательной обратной связью G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). На задающее воздействие подаётся ступенька величиной 2. Найдите установившуюся ошибку ess.

G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2

Найти: ess

Показать подсказки
  1. Коэффициент ошибки по положению Kₚ = G(0).
  2. Установившаяся ошибка для ступеньки величиной A: A/(1 + Kₚ).
  3. Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Показать ответ и пошаговое решение

Алгебра структурных схем: блоки, соединённые последовательно, перемножаются (G₁·G₂), блоки, соединённые параллельно, складываются (G₁ + G₂), а контур с прямым путём G и обратной связью H сводится к T = G/(1 + G·H) при отрицательной обратной связи и G/(1 − G·H) при положительной. Сначала упрощайте внутренние контуры, затем двигайтесь наружу. Полюсы замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Для устойчивого контура ступенчатый вход величиной A даёт установившийся выход A·T(0); при единичной обратной связи установившаяся ошибка по ступеньке равна A/(1 + Kp), где Kp = G(0).

Коэффициент ошибки по положению

Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375

Установившаяся ошибка

ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455

Ответ

ess = 1,455

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор обратного преобразования Лапласа (разложение на простые дроби)Калькулятор децибел (dB, dBm и уровни звука)Калькулятор диаграммы Боде (запас по усилению и по фазе)Калькулятор критерия устойчивости Рауса–ГурвицаКалькулятор преобразования Лапласа

Похожие курсы

Подготовка к экзамену FE Electrical and ComputerТеория управления 2: проектирование систем с обратной связьюПодготовка к экзамену FE MechanicalСигналы и системыМехатронные системыТеория электрических цепей 2: цепи переменного токаИнженерная математика 2Теория электрических цепей 1
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.