Калькулятор преобразования Лапласа
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Найдите преобразование Лапласа функции, составленной из типовых слагаемых: степеней t, экспонент, синусов и косинусов (с фазой), sinh и cosh, смещённых ступенчатых функций u(t − c) и импульсов δ(t − c). Калькулятор преобразует каждое слагаемое по стандартной таблице и теоремам о смещении, показывает использованные соотношения и выдаёт F(s) с областью сходимости.
Пошаговое решение
Преобразуйте каждое слагаемое
Использованные табличные соотношения
Сложите преобразования (линейность)
Как найти преобразование Лапласа по таблице
- Разбейте f(t) на сумму слагаемых; преобразование Лапласа линейно.
- Используйте основные пары: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) и L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Умножение на e^(at) сдвигает s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Запаздывающее слагаемое g(t)·u(t − c) преобразуется в e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- Сложите преобразования слагаемых; F(s) существует при Re(s), большем наибольшего показателя a.
Вопросы и ответы
Как набрать f(t)?
Например, 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Используйте ^ для степеней, e^(at) или exp(at) для экспонент, u(t-c) для ступеньки и δ(t-c) или delta(t-c) для импульса. Фаза допускается, как в sin(2t + 1).
В чём разница между t·u(t − 1) и (t − 1)·u(t − 1)?
Второе — это запаздывающая линейно нарастающая функция, и она преобразуется в e^(−s)/s². Первое равно t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1) и преобразуется в e^(−s)(1/s² + 1/s). Калькулятор обрабатывает оба случая, записывая g(t + c).
Как преобразуются t·sin(ωt) и t·cos(ωt)?
Через L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: мнимая часть даёт синус, а вещественная — косинус, например L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Что такое область сходимости?
Значения s, при которых интеграл преобразования сходится: Re(s) больше наибольшей скорости роста в f(t). Для e^(3t) это Re(s) > 3.
Можно ли ввести произведение двух синусов?
Напрямую нельзя. Сначала перепишите его с помощью формулы преобразования произведения в сумму, например sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Преобразования Лапласа»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.