Калькулятор обратного преобразования Лапласа (разложение на простые дроби)
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Найдите обратное преобразование Лапласа рациональной функции F(s) = N(s)/D(s). Введите коэффициенты числителя и знаменателя, начиная со старшей степени s. Калькулятор сокращает общие множители, выделяет целую часть неправильной дроби, находит полюсы, вычисляет все коэффициенты простых дробей (для простых, кратных и комплексных полюсов) и записывает f(t) в виде суммы экспонент, степеней t, синусов и косинусов.
Пошаговое решение
Запишите F(s) в виде отношения многочленов
Полюсы: корни знаменателя
Простые дроби
Используемые пары преобразований
Обратное преобразование Лапласа
Как найти обратное преобразование Лапласа разложением на простые дроби
- Убедитесь, что F(s) правильная: если степень числителя не меньше степени знаменателя, сначала выполните деление. Полиномиальная часть даёт импульсы δ(t), δ′(t) и так далее.
- Разложите знаменатель на множители, чтобы найти полюсы: вещественный полюс a даёт множитель (s − a), комплексная пара a ± bj даёт (s − a)² + b².
- Запишите F(s) в виде суммы простых дробей и найдите коэффициенты. Для простого полюса A = [(s − a)·F(s)] при s = a (правило закрытия); для кратных полюсов нужны производные.
- Преобразуйте каждое слагаемое по таблице: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! и (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Сложите слагаемые, чтобы получить f(t) при t ≥ 0.
Вопросы и ответы
Как ввести F(s)?
Введите коэффициенты каждого многочлена, начиная со старшей степени s, через пробел, с нулями для отсутствующих степеней. (s + 3)/(s² + 3s + 2) — это числитель 1 3 и знаменатель 1 3 2; 1/(s³ + 4s) — числитель 1 и знаменатель 1 0 4 0. Допускаются дроби вроде 1/2 и десятичные числа.
Что такое метод закрытия?
Для простого полюса при s = a умножьте F(s) на (s − a), сократите и подставьте s = a. Для F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) получаем 2/1 = 2 при s = −1 и 1/(−1) = −1 при s = −2, поэтому f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Как обрабатываются комплексные полюсы?
Пара полюсов a ± bj даёт слагаемое (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), обратное преобразование которого равно e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Калькулятор находит B и C по комплексному коэффициенту A при a + bj: B = 2·Re A и C = −2·Im A.
Что если степень числителя слишком высока?
Тогда F(s) неправильная. Деление многочленов даёт F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Многочлен Q(s) преобразуется в импульсы: константа c даёт c·δ(t), c·s даёт c·δ′(t) и так далее. Правильная часть R(s)/D(s) раскладывается на простые дроби как обычно.
Насколько точны результаты?
Общие и кратные множители находятся точно, в дробях. Затем корни и коэффициенты вычисляются численно с точностью около 14 цифр и показываются с 4 значащими цифрами, поэтому иррациональные полюсы, например полюсы s² + s + 1, выводятся десятичными дробями.
Почему f(t) справедливо только при t ≥ 0?
Одностороннее преобразование Лапласа использует только значения f при t ≥ 0. Строго говоря, результат равен f(t)·u(t), где u — единичная ступенчатая функция, поэтому f(t) = 0 при t < 0.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Преобразования Лапласа»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.