Калькулятор критерия устойчивости Рауса–Гурвица
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Эти значения слишком экстремальны для вычисления.
Проверьте устойчивость линейной системы по её характеристическому многочлену. Калькулятор строит таблицу Рауса с точными дробями, обрабатывает ноль в первом столбце (метод ε) и строку из нулей (вспомогательный многочлен), считает смены знака и выдаёт число корней в правой полуплоскости, на мнимой оси и в левой полуплоскости.
Пошаговое решение
Основные формулы
- Устойчивость
- все корни характеристического полинома в левой полуплоскости
- таблица Рауса, элемент s¹ кубического полинома
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Корни в правой полуплоскости
- число смен знака в первом столбце
- Кубический полином s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- устойчив, когда все a > 0 и a₂·a₁ > a₀
- Характеристическое уравнение
- 1 + K·G(s) = 0
Как использовать критерий Рауса–Гурвица
- Запишите характеристический многочлен со всеми степенями s, начиная со старшей. Если какой-либо коэффициент отсутствует или знаки различаются, система не может быть устойчивой.
- Заполните первую строку 1-м, 3-м, 5-м, … коэффициентами, а вторую строку 2-м, 4-м, 6-м, ….
- Каждый следующий элемент равен (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, по двум строкам выше.
- Если первый элемент равен нулю, а строка не нулевая, замените его малым ε > 0. Если вся строка нулевая, замените её производной вспомогательного многочлена, составленного по строке выше.
- Число смен знака в первом столбце равно числу корней в правой полуплоскости.
Вопросы и ответы
Что означает строка из нулей?
У многочлена есть корни, симметричные относительно начала координат: пары ±a, ±jω или четвёрки. Вспомогательный многочлен из строки выше содержит именно эти корни, а его корни на мнимой оси делают систему в лучшем случае на границе устойчивости.
Всегда ли надёжен метод ε?
Не тогда, когда корни лежат на мнимой оси. Поэтому калькулятор дополнительно выделяет общий множитель P(s) и P(−s), содержащий все симметричные корни, и точно подсчитывает его корни на мнимой оси. Если это меняет итог, шаги сообщают об этом.
Как найти диапазон K для устойчивости?
Подставьте коэффициент усиления K в коэффициенты, постройте таблицу в символьном виде и потребуйте, чтобы каждый элемент первого столбца был положительным. Этот калькулятор работает с числами, поэтому им можно проверить значение K по обе стороны найденной границы.
Означает ли устойчивая таблица Рауса хороший проект?
Она лишь говорит, что все полюсы находятся в левой полуплоскости. Насколько быстрым и хорошо демпфированным будет отклик, зависит от положения полюсов; для этого используйте корневой годограф или диаграмму Боде.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.