Диаграммы Боде и запасы: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: ЛАЧХ · ЛФЧХ · запас устойчивости
Бесплатные задачи по теме Диаграммы Боде и запасы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: фильтры и асимптоты, модуль и фаза, запасы устойчивости.
Бесплатная задачаЛёгкая
Найдите частоту среза (−3 dB) fc изображённого RC-фильтр верхних частот, при R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Дайте её в Hz.
Подайте синусоиду на фильтр или усилитель, и на выходе получится синусоида той же частоты. Меняются только две вещи: её размер и сдвиг во времени.
Коэффициент усиления |H| — это отношение амплитуды выхода к амплитуде входа. Фаза φ — это то, насколько сдвинут выход, в градусах. Отрицательная фаза означает, что выход отстаёт.
Оба зависят от частоты. Диаграмма Боде строит их в зависимости от частоты: коэффициент усиления в децибелах сверху, фаза снизу. Ось частоты логарифмическая, поэтому каждая декада (×10) занимает одинаковую ширину.
Децибелы превращают отношение в число, которое можно складывать:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Усиление 1 — это 0 dB, 10 — 20 dB, 100 — 40 dB, а 0,1 — −20 dB.
Усиление 1/√2 ≈ 0,707 — это −3 dB. Это граница полосы пропускания фильтра.
Самопроверка Усилитель имеет коэффициент усиления 100. Чему равно его усиление в децибелах?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Ответ: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB использует 10·log₁₀, что подходит для отношений мощностей, а не напряжений. 2 — это просто log₁₀(100).
2Фильтры первого порядка
Резистор с конденсатором или катушкой индуктивности образует простейший фильтр. Фильтр нижних частот пропускает низкие частоты и ослабляет высокие. Фильтр верхних частот делает наоборот.
В RC-фильтре нижних частот (слева) выход снимается с конденсатора. В RC-фильтре верхних частот (справа) — с резистора. С катушкой индуктивности выход фильтра нижних частот снимается с R, а фильтра верхних частот — с L.
Изменение происходит около частоты среза, где коэффициент усиления равен −3 dB. Она одинакова для фильтра нижних и верхних частот:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc выражена в rad/s, а fc в Hz. Сначала переведите R, C и L в основные единицы: Ω, F и H.
На графике показан фильтр нижних частот. Ниже ωc коэффициент усиления около 0 dB. Выше него он падает на 20 dB на декаду. Фаза идёт от 0° до −90° и равна −45° на частоте среза.
Фильтр верхних частот: |H| = x/√(1 + x²) и φ = 90° − atan x.
Разобранный пример
Найдите частоту среза fc RL-фильтра верхних частот с R = 470 Ω и L = 47 mH.
1
Основные единицы
L = 47 mH = 0,047 H
2
Частота среза в rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Частота среза в Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Ответ
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Самопроверка RC-фильтр нижних частот имеет R = 1 kΩ и C = 1 µF. Чему равна его частота среза fc?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Ответ: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, поэтому fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 — это ωc в rad/s, а не в Hz. 6283 умножает на 2π, а 159 kHz забывает k в kΩ.
3Асимптотические диаграммы Боде
Для передаточной функции G(s) амплитудную характеристику можно набросать прямыми линиями. Каждый множитель меняет наклон на своей частоте среза.
Полюсной множитель (s + p) в знаменателе изгибает линию вниз на 20 dB/декаду начиная с ω = p.
Нулевой множитель (s + z) в числителе изгибает её вверх на 20 dB/декаду начиная с ω = z.
Множитель s в знаменателе (интегратор) даёт −20 dB/декаду на всех частотах и −90° фазы.
Без интегратора график начинается горизонтально на уровне статического коэффициента усиления G(0), переведённого в dB.
На рисунке показана G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, поэтому график начинается с 20 dB. Он изгибается до −20 dB/декаду при 10 rad/s и до −40 dB/декаду при 100 rad/s.
Чтобы найти наклон в диапазоне: начните с −20 dB/декаду на каждый интегратор, затем добавьте −20 за каждую частоту сопряжения полюса и +20 за каждую частоту сопряжения нуля ниже этого диапазона.
Самопроверка G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Каков наклон асимптотического графика между 5 и 50 rad/s?
0 dB/декаду
−20 dB/декаду
−40 dB/декаду
−60 dB/декаду
Ответ: −40 dB/декаду. Интегратор даёт −20 с самого начала. Полюс при 5 добавляет −20, поэтому наклон между 5 и 50 равен −40. Нуль при 50 возвращает его к −20 выше 50. −60 принимает нуль за полюс.
4Точные значения на одной частоте
Прямые линии — это набросок. Для точного значения подставьте s = jω. Каждый множитель (jω + a) — комплексное число с:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
Модуль G равен произведению модулей числителя, делённому на произведение модулей знаменателя. Фаза равна сумме углов числителя минус сумма углов знаменателя.
Пример: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) при ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 и |j4 + 4| = 5,657, поэтому |G| = 150/28,28 = 5,30, то есть 14,5 dB.
Фаза равна −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.
Последовательная RLC-цепь с выходом на R — это полосовой фильтр. Он пропускает частоты около резонансной частоты ω₀ = 1/√(LC). Полоса пропускания BW = R/L в rad/s, а добротность Q = ω₀/BW.
Запишите G(s) или H(jω). Для RC- или RL-фильтра сначала найдите ωc и отношение x = ω/ωc.
Для каждого множителя найдите его модуль √(ω² + a²) и угол atan(ω/a).
Перемножьте и разделите модули. Сложите углы нулей и вычтите углы полюсов; интегратор добавляет −90°.
Переведите модуль в dB по 20·log₁₀.
Сверьте с асимптотическим наброском: точное значение должно лежать близко к нему и на 3 dB ниже на одиночной частоте сопряжения.
5Разобранный пример
Это типичный вопрос среднего уровня. Попробуйте каждый шаг, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
RC-фильтр нижних частот имеет R = 10 kΩ и C = 100 nF. Подана синусоида 480 Hz. Найдите коэффициент усиления |H| в dB и фазовый сдвиг φ.
1
Частота среза
Используйте основные единицы: R = 10 000 Ω и C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Отношение частот
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
Вход выше частоты среза, поэтому ожидайте заметной потери усиления.
3
Коэффициент усиления
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Фаза
Фильтр нижних частот заставляет выход отставать, поэтому фаза отрицательна.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Проверьте ответ
Асимптотическая линия даёт −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, близко к точному −10,0 dB.
Ответ
|H| ≈ −10,0 dB и φ ≈ −71,7°.
6Типичные ошибки
Использование 10·log₁₀ для усиления по напряжению. Усиление сигналов использует 20·log₁₀.
Путаница между ω и f. ωc = 1/(RC) выражена в rad/s; разделите на 2π для Hz.
Использование L/R для частоты среза RL-цепи. L/R — это постоянная времени; частота среза равна ωc = R/L.
Сложение модулей как ω + a. Модуль jω + a равен √(ω² + a²).
Забытый интегратор: 1/s даёт −20 dB/декаду и −90° на всех частотах.
Указано асимптотическое значение, когда вопрос требует точный модуль.
Самопроверка Чему равен статический коэффициент усиления G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) в dB?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Ответ: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, и 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB использует 10·log₁₀. 40 — это отношение, а не dB. 52,0 dB забывает положить s = 0 в знаменателе.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: фильтры и асимптоты. Частота среза RC- или RL-фильтра в Hz или rad/s, наклон асимптотического графика в диапазоне или статический коэффициент усиления в dB.
Средняя: модуль и фаза. Коэффициент усиления в dB или фаза фильтра на заданной частоте, точные |G(jω)| или ∠G(jω) передаточной функции либо f₀, BW или Q RLC-полосового фильтра.
Сложная: запасы устойчивости контура L(s), например 85/(s(s + 5)) или K/(s(s + a)(s + b)).
Для сложного уровня нужны две частоты. На частоте среза усиления ωc |L(jω)| = 1 (0 dB). На частоте перехода фазы ω180 ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Для L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) частота перехода фазы равна ω180 = √(a·b). Контур устойчив, когда оба запаса положительны.
Найдите коэффициент усиления G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) на низких частотах (постоянный ток) в децибелах, |G(0)| в dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Найти: |G(0)|(dB)
Показать подсказки
На очень низких частотах s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
Показать ответ и пошаговое решение
Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ωc = 1/(RC) или R/L, и fc = ωc/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) и φ = −atan(ω/ωc). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перехода фазы ω180: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.
Статический коэффициент передачи
G(0) = 0,3
В децибелах
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Ответ
|G(0)| = −10,46 dB
Пример 2Средняя
Изображённый RC-фильтр нижних частот имеет R = 1 kΩ, C = 1 nF. На вход подаётся синусоидальный сигнал 1600 kHz. Найдите фазовый сдвиг φ напряжения vout относительно vin в градусах.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Найти: φ(°)
Показать подсказки
Сначала найдите частоту среза: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
Показать ответ и пошаговое решение
Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ωc = 1/(RC) или R/L, и fc = ωc/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) и φ = −atan(ω/ωc). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перехода фазы ω180: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.
Частота среза
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Фаза
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Ответ
φ = −84,32°
Пример 3Сложная
Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 185/(s(s + 5)). Найдите запас по фазе PM в градусах.
Решите квадратное уравнение относительно x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Показать ответ и пошаговое решение
Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ωc = 1/(RC) или R/L, и fc = ωc/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) и φ = −atan(ω/ωc). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перехода фазы ω180: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.
Частота среза усиления
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Запас по фазе
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Ответ
PM = 20,82°
Вопросы и ответы
Диаграммы Боде и запасы: что это?
Подайте синусоиду на фильтр или усилитель, и на выходе получится синусоида той же частоты. Меняются только две вещи: её размер и сдвиг во времени.
Оба зависят от частоты. Диаграмма Боде строит их в зависимости от частоты: коэффициент усиления в децибелах сверху, фаза снизу. Ось частоты логарифмическая, поэтому каждая декада (×10) занимает одинаковую ширину.
Диаграммы Боде и запасы: как решать задачи шаг за шагом?
Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ωc = 1/(RC) или R/L, и fc = ωc/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) и φ = −atan(ω/ωc). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перехода фазы ω180: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.
Диаграммы Боде и запасы: какие ошибки самые частые?
Это коэффициент усиления как отношение. Переведите: 20·log₁₀(0,3).
Для отношения напряжений или сигналов используйте 20·log₁₀, а не 10·log₁₀ (это для мощности).
Положите s = 0 в каждом множителе: G(0) = 0,3, а не 12.
Диаграммы Боде и запасы: что вы тренируете?
Лёгкая: фильтры и асимптоты
Средняя: модуль и фаза
Сложная: запасы устойчивости
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.