Сигналы и системы: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Непрерывные и дискретные сигналы, проходящие через линейные стационарные системы: свёртка, импульсная и переходная характеристики, преобразование Лапласа, частотная характеристика и ряд Фурье. На экзаменах эскизы сочетаются с короткими расчётами.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Свёртка и линейные стационарные системыдискретная свёртка · непрерывная свёртка · импульсная характеристика и ряд Фурьерасчёты
  2. Преобразования Лапласатаблица пар и теоремы о значениях · обратное преобразование разложением на простые дроби · Дифференциальные уравнения и передаточные функциирасчёты
  3. Переходная характеристикасистемы первого порядка · параметры второго порядка · физические системы и проектированиерасчёты
  4. Диаграммы Боде и запасыфильтры и асимптоты · модуль и фаза · запасы устойчивостирасчёты

Советы к экзамену: Сигналы и системы

  • Нарисуйте сигналы, прежде чем делать свёртку: перекрытие определяет пределы суммы или интеграла.
  • Выход линейной стационарной системы начинается в сумме моментов начала и заканчивается в сумме моментов окончания.
  • Синусоида выходит с той же частотой, умноженная на |H(jω)| и сдвинутая на ∠H(jω).

Разобранные примеры

Свёртка и линейные стационарные системыЛёгкая
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Последовательности x[n] = {4, −3, −2} и h[n] = {3, 1} обе начинаются с n = 0. Найдите отсчёт y[1] свёртки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Найти: y[1]

Показать подсказки
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. При n = 1 слагаемые соответствуют k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Показать ответ и пошаговое решение

Дискретная свёртка: выход линейной стационарной системы равен y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: отразите h, сдвиньте на n, перемножьте поэлементно с x и сложите. Если x содержит Lx отсчётов, начиная с nx, а h содержит Lh отсчётов, начиная с nh, то y содержит Lx + Lh − 1 отсчётов, начиная с nx + nh. Сумма всех отсчётов y равна (Σx)·(Σh). КИХ-фильтр y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … — это свёртка с h[n] = bn.

Слагаемые суммы

Вклад дают только те k, для которых существуют и x[k], и h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Сложите

y[1] = −5

Ответ

y[1] = −5
Преобразования ЛапласаСредняя
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Её оригинал имеет вид f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Найдите коэффициент A разложением на простые дроби.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Найти: A

Показать подсказки
  1. Разложите знаменатель на множители: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Правило закрытия: A = [(s + 6)·F(s)] при s = −6.
  3. При s = −6: числитель 16, другой множитель 2.
Показать ответ и пошаговое решение

Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Разложение знаменателя на множители

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Правило закрытия

Умножьте на (s + 6) и положите s = −6: слагаемое с B обращается в нуль.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Ответ

A = 8
(B = −7, поэтому f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор обратного преобразования Лапласа (разложение на простые дроби)Калькулятор децибел (dB, dBm и уровни звука)Калькулятор диаграммы Боде (запас по усилению и по фазе)Калькулятор преобразования Лапласа

Похожие курсы

Теория управления 1Подготовка к экзамену FE Electrical and ComputerТеория управления 2: проектирование систем с обратной связьюИнженерная математика 2Подготовка к экзамену FE MechanicalТеория электрических цепей 2: цепи переменного токаМехатронные системыТеория электрических цепей 1
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.