Свёртка и линейные стационарные системы: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Свёртка и линейные стационарные системы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: дискретная свёртка, непрерывная свёртка, импульсная характеристика и ряд Фурье.

Бесплатная задачаЛёгкая
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Последовательности x[n] = {−3, 2, 4, 3} и h[n] = {1, 1, 1} обе начинаются с n = 0. Найдите отсчёт y[1] свёртки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Свёртка и линейные стационарные системыЗанимайтесь сейчас: Свёртка и линейные стационарные системыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаядискретная свёртка
  2. Средняянепрерывная свёртка
  3. Сложнаяимпульсная характеристика и ряд Фурье

Как решать задачи по теме «Свёртка и линейные стационарные системы»

  1. Нарисуйте оба сигнала и отметьте, где каждый из них отличен от нуля.
  2. Отразите h и сдвигайте её: для каждого момента выхода найдите диапазон, где оба сигнала перекрываются.
  3. Перемножайте и складывайте (дискретный случай) или перемножайте и интегрируйте (непрерывный случай) только на этом перекрытии.
  4. Проверьте результат: выход начинается в сумме моментов начала, заканчивается в сумме моментов окончания, а его площадь или сумма равна произведению площадей или сумм входов.

Типичные ошибки

  • Поэлементно перемножают два сигнала вместо того, чтобы свернуть их.
  • Сдвигают h без отражения, и получается корреляция.
  • Используют формулу переходной характеристики там, где спрашивают импульсную, или наоборот.
  • Неверно определяют номер гармоники: компонента на частоте k/T — это гармоника k.

Основные формулы

Дискретная свёртка
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Непрерывная свёртка
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Длина и сумма
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Начало, конец и площадь
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Ступенька на входе системы e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Система первого порядка
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Рекурсия первого порядка
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Синусоида на входе системы h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Амплитуды ряда Фурье
меандр ±A: 4A/(kπ), нечётные k; треугольная волна ±A: 8A/(π²k²), нечётные k; последовательность импульсов: A·D и (2A/(kπ))|sin kπD|

Изучите тему «Свёртка и линейные стационарные системы» с нуля

Перед этим: Интегралы

1Что делает свёртка

Линейная стационарная (ЛС) система полностью описывается своей импульсной характеристикой h: выходом, который она даёт, когда на вход подан один короткий толчок.

Любой вход можно представить как ряд масштабированных и сдвинутых толчков. Каждый толчок создаёт масштабированную и сдвинутую копию h, а выход — это сумма всех копий. Эта сумма и есть свёртка y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Свёртка возникает везде, где у системы есть память: фильтры, датчики, конструкции, цепи и расплывание сигнала во времени.

Самопроверка У системы h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). На вход подан один отсчёт x[0] = 2. Каков выход?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Ответ: y[n] = {2, 6}. Один толчок высотой 2 даёт одну копию h, умноженную на 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Свёртка сохраняет форму h; отсчёты при этом не складываются друг с другом.

2Дискретная свёртка шаг за шагом

Для последовательностей свёртка — это сумма:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Отразите h: h[−k] — это h, зеркально отражённая относительно k = 0.
  2. Сдвиньте отражённую h на n.
  3. Перемножьте её поэлементно с x и сложите произведения. Это даст y[n].
  4. Повторите для каждого n. Если x содержит Lx отсчётов, а h — Lh, то y содержит Lx + Lh − 1 отсчётов, начиная с суммы двух начальных индексов.

Быстрая проверка: сумма всех отсчётов y равна (Σx)·(Σh).

Самопроверка Для x[n] = {1, 2} и h[n] = {3, 1}, обе начинаются с n = 0, чему равно y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Ответ: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Если взять только x[1]·h[1], получится 2, а 6 учитывает лишь одно из двух произведений.

3Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Свяжите x[n] = {2, 1, −1} s h[n] = {1, 3}, обе начинаются с n = 0.

1

Посмотрите на последовательности

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

У x 3 отсчёта, а у h — 2, поэтому у y 3 + 2 − 1 = 4 отсчёта, от n = 0 до n = 3.

2

y[0]

Перекрываются только x[0] и h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] и y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Проверьте ответ

Σx = 2 и Σh = 4, значит, Σy должна быть равна 8. Действительно, 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Ответ

y[n] = {2, 7, 2, −3} для n = 0 … 3.

4Непрерывная свёртка

Для сигналов в непрерывном времени сумма превращается в интеграл:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Метод тот же: отразите h, сдвиньте её в положение t и проинтегрируйте произведение на той части, где оба сигнала отличны от нуля.

x(t)t12h(t)t1

При x(t) = 2 для 0 ≤ t < 1 s и h(t) = e−tu(t) выход, пока импульс действует, равен y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). При t = 1 s он достигает 2(1 − e−1) = 1,26, а затем спадает как 1,26·e−(t − 1).

  • y начинается в сумме двух моментов начала и заканчивается в сумме двух моментов окончания.
  • Площадь под y равна площади под x, умноженной на площадь под h.
  • Два прямоугольных импульса дают трапецию; два одинаковых — треугольник.
Самопроверка x(t) отлична от нуля от 0 до 2 s, а h(t) — от 1 s до 4 s. Когда заканчивается y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Ответ: 6 s. y заканчивается в сумме моментов окончания: 2 + 4 = 6 s. Она начинается в 0 + 1 = 1 s, значит, длится 5 s; 5 s — это длительность, а не момент окончания.

5Импульсные характеристики и ряды Фурье

Система первого порядка y′ + a·y = b·x имеет импульсную характеристику h(t) = b·e−atu(t). Её дискретный аналог y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] имеет h[n] = b·aⁿ при n ≥ 0.

Синусоида проходит через линейную стационарную систему с неизменной частотой. Она умножается на |H(jω)| и сдвигается на ∠H(jω), где H — преобразование Фурье функции h. Для h(t) = b·e−atu(t) получаем H(jω) = b/(a + jω).

Периодический сигнал с периодом T — это сумма гармоник на частотах k/T. Некоторые стандартные амплитуды:

  • Меандр между −A и +A: только нечётные k, амплитуда 4A/(kπ).
  • Треугольная волна между −A и +A: только нечётные k, амплитуда 8A/(π²k²).
  • Последовательность импульсов высотой A и коэффициентом заполнения D: среднее A·D, гармоники (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Самопроверка Меандр переключается между −2 и +2. Какова амплитуда его третьей гармоники?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Ответ: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 — это основная гармоника, 0,283 получается делением на k², как у треугольной волны, а 0,424 использует 2A/(kπ) — формулу для волны от 0 до A.

6Типичные ошибки

  • Поэлементно перемножают два сигнала вместо того, чтобы свернуть их.
  • Сдвигают h без отражения; это даёт корреляцию, а не свёртку.
  • Путают импульсную и переходную характеристики: переходная характеристика — это накопленная сумма или интеграл от h.
  • Неверно определяют номер гармоники: компонента на частоте k/T — это гармоника k.
Самопроверка x[n] = {1, 2} и h[n] = {1, 1}, обе начинаются с n = 0. Чему равно y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Ответ: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Поэлементное произведение x[1]·h[1] даёт только 2.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкий: дискретная свёртка. Нужно найти один отсчёт выхода, наибольший отсчёт, сумму всех отсчётов, первый или последний индекс y, выход КИХ-фильтра или отклик на ступеньку.
  • Средний: непрерывная свёртка. Нужно найти y(t) в заданный момент для двух импульсов, экспоненты со ступенькой или импульсом либо двух экспонент, а также площадь, начало, конец или длительность y.
  • Сложный: импульсные характеристики и ряды Фурье. Нужно найти h(t) для ОДУ первого порядка, h[n] или переходную характеристику рекурсии, коэффициент передачи или фазу для синусоиды либо гармонику меандра, треугольной волны или последовательности импульсов.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Последовательности x[n] = {4, −3, −2} и h[n] = {3, 1} обе начинаются с n = 0. Найдите отсчёт y[1] свёртки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Найти: y[1]

Показать подсказки
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. При n = 1 слагаемые соответствуют k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Показать ответ и пошаговое решение

Дискретная свёртка: выход линейной стационарной системы равен y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: отразите h, сдвиньте на n, перемножьте поэлементно с x и сложите. Если x содержит Lx отсчётов, начиная с nx, а h содержит Lh отсчётов, начиная с nh, то y содержит Lx + Lh − 1 отсчётов, начиная с nx + nh. Сумма всех отсчётов y равна (Σx)·(Σh). КИХ-фильтр y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … — это свёртка с h[n] = bn.

Слагаемые суммы

Вклад дают только те k, для которых существуют и x[k], и h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Сложите

y[1] = −5

Ответ

y[1] = −5
Пример 2Средняя
x(t)t11h(t)t1

Импульс x(t) = 1 при 0 ≤ t < 1 s (в остальное время нуль) подан на систему с h(t) = e−2tu(t). Найдите выход y(2,5) при t = 2,5 s, после окончания импульса.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Найти: y(2.5)

Показать подсказки
  1. Запишите импульс как ступеньку при t = 0 минус ступеньку при t = 1 s.
  2. Переходная характеристика: (A/a)(1 − e−at).
  3. После импульса: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Показать ответ и пошаговое решение

Непрерывная свёртка: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Отразите h, сдвиньте в положение t и проинтегрируйте произведение перекрывающихся частей. Для причинных сигналов интеграл берётся от 0 до t. Полезные факты: площадь y равна площади x, умноженной на площадь h; если x длится от t₁ до t₂, а h — от t₃ до t₄, то y длится от t₁ + t₃ до t₂ + t₄. Для h(t) = e−atu(t) и ступеньки высотой A получаем y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Выход в конце импульса

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Затухание после импульса

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Ответ

y(2,5) = 0,02152
Пример 3Сложная
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Система подчиняется уравнению y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Найдите её импульсную характеристику при t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Найти: h(0.05)

Показать подсказки
  1. Примените преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Показать ответ и пошаговое решение

Импульсная характеристика и ряд Фурье: импульсная характеристика h(t) полностью описывает линейную стационарную систему: для y′ + a·y = b·x она равна h(t) = b·e−atu(t), а для y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] — h[n] = b·aⁿu[n]. Синусоида cos ωt проходит с коэффициентом передачи |H(jω)| и фазой ∠H(jω), где H — преобразование Фурье функции h. Периодический сигнал — это сумма гармоник на частотах k/T: меандр с амплитудой ±A содержит только нечётные гармоники с амплитудами 4A/(kπ), треугольная волна с пиком A — 8A/(π²k²), а последовательность импульсов высотой A и коэффициентом заполнения D имеет среднее значение A·D и гармоники (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Передаточная функция

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Импульсная характеристика

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Ответ

h(0,05) = 2,336

Вопросы и ответы

Свёртка и линейные стационарные системы: что это?

Любой вход можно представить как ряд масштабированных и сдвинутых толчков. Каждый толчок создаёт масштабированную и сдвинутую копию h, а выход — это сумма всех копий. Эта сумма и есть свёртка y = x ∗ h.

Свёртка возникает везде, где у системы есть память: фильтры, датчики, конструкции, цепи и расплывание сигнала во времени.

Свёртка и линейные стационарные системы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Нарисуйте оба сигнала и отметьте, где каждый из них отличен от нуля.
  2. Отразите h и сдвигайте её: для каждого момента выхода найдите диапазон, где оба сигнала перекрываются.
  3. Перемножайте и складывайте (дискретный случай) или перемножайте и интегрируйте (непрерывный случай) только на этом перекрытии.
  4. Проверьте результат: выход начинается в сумме моментов начала, заканчивается в сумме моментов окончания, а его площадь или сумма равна произведению площадей или сумм входов.
Свёртка и линейные стационарные системы: какие ошибки самые частые?
  • Поэлементно перемножают два сигнала вместо того, чтобы свернуть их.
  • Сдвигают h без отражения, и получается корреляция.
  • Используют формулу переходной характеристики там, где спрашивают импульсную, или наоборот.
  • Неверно определяют номер гармоники: компонента на частоте k/T — это гармоника k.
Свёртка и линейные стационарные системы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: дискретная свёртка
  • Средняя: непрерывная свёртка
  • Сложная: импульсная характеристика и ряд Фурье

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Интегралы

Курсы с этой темой

Сигналы и системыИнженерная математика 2

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулирование

Лист заданий для печати

Свёртка и линейные стационарные системы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Свёртка и линейные стационарные системыЗанимайтесь сейчас: Свёртка и линейные стационарные системыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.