Мост Уитстона и тензорезисторы: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Мост Уитстона и тензорезисторы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: равновесие и напряжения узлов, неуравновешенные мосты, тензорезисторы и датчики силы.

Бесплатная задачаЛёгкая
+−9 VR1​ = 200 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 200 Ωab+−Vab​ = ?

Найдите выходное напряжение холостого хода Vab = Va − Vb показанного моста при Vs = 9 V.

Vs = 9 VR1 = 200 ΩR2 = 300 ΩR3 = 500 ΩR4 = 200 Ω
V
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Мост Уитстона и тензорезисторыЗанимайтесь сейчас: Мост Уитстона и тензорезисторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяравновесие и напряжения узлов
  2. Средняянеуравновешенные мосты
  3. Сложнаятензорезисторы и датчики силы

Как решать задачи по теме «Мост Уитстона и тензорезисторы»

  1. Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
  2. Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
  3. Для неуравновешенного моста найдите Va и Vb по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
  4. Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте Vs·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Типичные ошибки

  • Составляют неверные пары резисторов в условии равновесия.
  • Используют формулу четвертьмоста для полумоста или полного моста.
  • Забывают, что деформацию часто задают в µε (10⁻⁶).
  • Применяют приближение малых изменений Vs·ΔR/(4R) к большому изменению сопротивления.

Основные формулы

Напряжения делителей
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Выделение
Vab = Va − Vb
Баланс
R1/R2 = R3/R4
Реохордный мост
R/Rx = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Коэффициент тензочувствительности
ΔR/R = GF·ε
Выход моста
четвертьмост Vs·GF·ε/4, полумост Vs·GF·ε/2, полный мост Vs·GF·ε
Малое изменение, одно плечо
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Напряжение
σ = E·ε

Изучите тему «Мост Уитстона и тензорезисторы» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы, Тевенин и Нортон

1Что такое мост Уитстона

Мост Уитстона — это два делителя напряжения, подключённых к одному источнику Vs. Выход — это напряжение между их средними точками a и b.

+−Vs​R1​R2​R3​R4​ab+−

Когда у двух делителей одинаковые отношения, точки a и b имеют одно и то же напряжение, и выход равен нулю: мост уравновешен. Тогда крошечное изменение одного плеча даёт небольшой выход, который легко измерить, без большого общего напряжения поверх него.

Поэтому мосты применяют для измерения неизвестных сопротивлений и малых изменений сопротивления датчиков, таких как тензорезисторы и термисторы.

Самопроверка Все четыре плеча моста равны 100 Ω, Vs = 10 V. Чему равен выход Vab?
  1. 0 V
  2. 10 V
  3. 2,5 V
  4. 5 V

Ответ: 0 V. Оба делителя делят питание пополам, поэтому Va = Vb = 5 V, а Vab = 0. 5 V — это напряжение каждой средней точки, а не разность.

2Напряжения узлов и условие равновесия

Каждая средняя точка — это делитель напряжения. Если R₁ стоит над R₂, а R₃ над R₄:

Va = Vs·R2/(R1 + R2) Vb = Vs·R4/(R3 + R4) Vab = Va − Vb

Выход равен нулю, когда отношения совпадают:

R1/R2 = R3/R4 or R1·R4 = R2·R3

Напряжение питания не входит в условие равновесия. Поэтому неизвестный резистор можно найти, подбирая известный, пока гальванометр не покажет ноль.

Самопроверка Мост уравновешивается при R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω и R₃ = 150 Ω. Чему равен R₄?
  1. 133,3 Ω
  2. 300 Ω
  3. 450 Ω
  4. 75 Ω

Ответ: 300 Ω. R₄ = R₂·R₃/R₁ = 200·150/100 = 300 Ω. Если поменять R₁ и R₂ местами, получится 75 Ω, а неверные пары резисторов дают 133,3 Ω.

3Метод по шагам

  1. Обозначьте плечи: R₁ и R₂ — в левом делителе, R₃ и R₄ — в правом, узел a между R₁ и R₂, узел b между R₃ и R₄.
  2. Для уравновешенного моста решите R₁·R₄ = R₂·R₃ относительно неизвестного.
  3. Для неуравновешенного моста найдите Va и Vb по делителям и вычтите.
  4. Если прибор с сопротивлением Rg нагружает выход, замените мост его эквивалентом Тевенина: Vth = Vab и Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. Тогда Ig = Vth/(Rth + Rg).

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

У моста R₁ = 200 Ω, R₂ = 300 Ω, R₃ = 400 Ω и R₄ = 400 Ω, Vs = 12 V. Найдите выход холостого хода Vab и ток в гальванометре 80 Ω, подключённом от a к b.

1

Посмотрите на мост

+−12 V200 Ω300 Ω400 Ω400 Ωab+−Vab​

В правом делителе плечи равны, поэтому Vb — половина напряжения питания.

2

Напряжения узлов

Va = 12·300/500 = 7,2 V Vb = 12·400/800 = 6 V
3

Выходное напряжение

Vab = 7,2 − 6 = 1,2 V
4

Сопротивление Тевенина

При замкнутом накоротко источнике R₁ ∥ R₂ идёт от a к шинам, а R₃ ∥ R₄ — от шин к b.

Rth = 200∥300 + 400∥400 = 120 + 200 = 320 Ω
5

Ток гальванометра

Ig = 1,2/(320 + 80) = 0,003 A = 3 mA

Он течёт от a к b, потому что Va выше.

Ответ

Vab = 1,2 V и Ig = 3 mA.

5Тензорезисторы

Тензорезистор — это тонкая металлическая фольга, приклеенная к детали. Когда деталь растягивается, фольга становится длиннее и тоньше, и её сопротивление растёт:

ΔR/R = GF·ε

ε — деформация (часто в микродеформациях, µε = 10⁻⁶), а GF — коэффициент тензочувствительности, около 2 для металлической фольги. Изменение крошечное: 500 µε на тензорезисторе 350 Ω с GF = 2 даёт ΔR = 0,35 Ω.

В мосту, все плечи которого равны R, выход близок к:

  • Четвертьмост (один активный тензорезистор): Vo ≈ Vs·GF·ε/4.
  • Полумост (два тензорезистора с противоположной деформацией в одном делителе): Vo = Vs·GF·ε/2.
  • Полный мост (четыре активных тензорезистора): Vo = Vs·GF·ε.

При Vs = 5 V, GF = 2 и 500 µε четвертьмост даёт 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. Механическое напряжение следует из закона Гука, σ = E·ε.

Самопроверка Те же тензорезисторы (GF = 2, 500 µε, Vs = 5 V) включены по схеме полумоста. Чему равен выход?
  1. 0,625 mV
  2. 1,25 mV
  3. 2,5 mV
  4. 5 mV

Ответ: 2,5 mV. Полумост даёт Vs·GF·ε/2 = 5·2·0,0005/2 = 2,5 mV, вдвое больше, чем 1,25 mV четвертьмоста. 5 mV потребовали бы четырёх активных тензорезисторов.

6Типичные ошибки

  • Составляют неверные пары плеч в условии равновесия. Сравнивайте два верхних плеча с двумя нижними.
  • Используют множитель 4 четвертьмоста для полумоста или полного моста.
  • Забывают, что µε означает 10⁻⁶.
  • Используют оценку малых изменений Vs·ΔR/(4R) для большого изменения сопротивления; тогда вычислите оба делителя точно.
Самопроверка Тензорезистор с GF = 2 показывает ΔR/R = 0,002. Чему равна деформация?
  1. 0,001 µε
  2. 1000 µε
  3. 2 µε
  4. 4000 µε

Ответ: 1000 µε. ε = (ΔR/R)/GF = 0,002/2 = 0,001 = 1000 µε. Запись 0,001 с единицей µε занижена в миллион раз, а умножение на GF даёт 4000 µε.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкий: равновесие и напряжения узлов. Нужно найти неизвестное или регулируемое плечо уравновешенного моста, напряжение узла, выход холостого хода, ток источника или неизвестный резистор реохордного моста.
  • Средний: неуравновешенные мосты. Нужно найти точный или линеаризованный выход при изменении сопротивления, сопротивление Тевенина, ток гальванометра, изменение сопротивления по измеренному выходу или мощность в тензорезисторе.
  • Сложный: тензорезисторы и датчики силы. Нужно найти деформацию по ΔR, выход четвертьмоста, полумоста или полного моста, деформацию или механическое напряжение по показанию, коэффициент усиления усилителя для входа преобразователя или выход датчика силы с номиналом в mV/V.

Для реохордного моста два отрезка проволоки играют роль плеч отношения: R/Rx = l/(100 − l).

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
+−6 VR1​ = 250 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = ?R4​ = 150 ΩabG0

Мост Уитстона на схеме уравновешивается подбором R₃. R₁ = 250 Ω, R₂ = 300 Ω и R₄ = 150 Ω. Найдите установленное значение R3.

R1 = 250 ΩR2 = 300 ΩR4 = 150 Ω

Найти: R3 (Ω)

Показать подсказки
  1. В равновесии оба делителя дают одинаковое напряжение: Va = Vb.
  2. R₁/R₂ = R₃/R₄.
  3. R₃ = R₁·R₄/R₂.
Показать ответ и пошаговое решение

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника Vs. Левый делитель R1–R2 даёт Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правый делитель R3–R4 даёт Vb = Vs·R4/(R3 + R4); выход равен Vab = Va − Vb. Мост уравновешен (Vab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R1/R2 = R3/R4, то есть R1·R4 = R2·R3. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Условие равновесия

R₁·R₄ = R₂·R₃

Неизвестный резистор

R₃ = 250·150/300 = 125 Ω

Ответ

R3 = 125 Ω

В равновесии напряжение питания не имеет значения.

Пример 2Средняя
+−10 VR1​ = 150 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 600 ΩabGRg​ = 20 Ω

Гальванометр с сопротивлением 20 Ω включён между a и b показанного моста (Vs = 10 V). Найдите ток гальванометра Ig от a к b в µA.

Vs = 10 VR1 = 150 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 500 ΩR4 = 600 ΩRg = 20 Ω

Найти: Ig (µA)

Показать подсказки
  1. Замените мост его эквивалентом Тевенина со стороны a–b.
  2. Vth = Va − Vb = 3,241 V, Rth = 403,2 Ω.
  3. Ig = Vth/(Rth + Rg).
Показать ответ и пошаговое решение

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника Vs. Левый делитель R1–R2 даёт Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правый делитель R3–R4 даёт Vb = Vs·R4/(R3 + R4); выход равен Vab = Va − Vb. Мост уравновешен (Vab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R1/R2 = R3/R4, то есть R1·R4 = R2·R3. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Напряжение Тевенина

Vth = 10·(1000/1150 − 600/1100) = 3,241 V

Сопротивление Тевенина

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 403,2 Ω

Ток гальванометра

Ig = 3,241/(403,2 + 20) = 7659 µA

Ответ

Ig = 7659 µA
Пример 3Сложная
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

Тензорезистор 350 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2,12 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,371 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 350 ΩGF = 2,12ΔR = 0,371 Ω

Найти: ε (µε)

Показать подсказки
  1. ΔR/R = GF·ε.
  2. ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106.
  3. 1 µε = 10⁻⁶.
Показать ответ и пошаговое решение

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают Vs·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — Vs·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106

Деформация

ε = 0,00106/2,12 = 0,0005 = 500 µε

Ответ

ε = 500 µε

Вопросы и ответы

Мост Уитстона и тензорезисторы: что это?

Мост Уитстона — это два делителя напряжения, подключённых к одному источнику Vs. Выход — это напряжение между их средними точками a и b.

Когда у двух делителей одинаковые отношения, точки a и b имеют одно и то же напряжение, и выход равен нулю: мост уравновешен. Тогда крошечное изменение одного плеча даёт небольшой выход, который легко измерить, без большого общего напряжения поверх него.

Мост Уитстона и тензорезисторы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
  2. Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
  3. Для неуравновешенного моста найдите Va и Vb по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
  4. Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте Vs·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.
Мост Уитстона и тензорезисторы: какие ошибки самые частые?
  • Составляют неверные пары резисторов в условии равновесия.
  • Используют формулу четвертьмоста для полумоста или полного моста.
  • Забывают, что деформацию часто задают в µε (10⁻⁶).
  • Применяют приближение малых изменений Vs·ΔR/(4R) к большому изменению сопротивления.
Мост Уитстона и тензорезисторы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: равновесие и напряжения узлов
  • Средняя: неуравновешенные мосты
  • Сложная: тензорезисторы и датчики силы

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторыТевенин и Нортон

Курсы с этой темой

Электроника 1Измерения и приборыМехатронные системы

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Мост Уитстона и тензорезисторы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Мост Уитстона и тензорезисторыЗанимайтесь сейчас: Мост Уитстона и тензорезисторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.