Тевенин и Нортон: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: метод эквивалентного генератора · теорема Тевенина · теорема Нортона

Бесплатные задачи по теме Тевенин и Нортон с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: делитель, с последовательным резистором и нагрузкой, с источником тока и нагрузкой.

Бесплатная задачаЛёгкая
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Тевенин и НортонЗанимайтесь сейчас: Тевенин и НортонБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяделитель
  2. Средняяс последовательным резистором и нагрузкой
  3. Сложнаяс источником тока и нагрузкой

Как решать задачи по теме «Тевенин и Нортон»

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Типичные ошибки

  • Нагрузку оставляют подключённой при нахождении Rth.
  • Последовательно складывают резисторы, которые со стороны зажимов на самом деле соединены параллельно.
  • Забывают, что максимальная мощность передаётся при Rload = Rth.

Основные формулы

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Изучите тему «Тевенин и Нортон» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы

1Что такое эквивалент Тевенина

Часто важно лишь то, что происходит на двух выводах цепи, например там, где подключена нагрузка.

Теорема Тевенина гласит: если смотреть с двух выводов a и b, любая цепь из источников и резисторов ведёт себя в точности как один источник напряжения, последовательно соединённый с одним резистором.

+−Vth​Rth​ab

Хорошая аналогия — батарея: внутри неё химический элемент (источник) с некоторым внутренним сопротивлением. Снаружи заметны только эти две вещи.

Это сильно экономит труд. Когда у вас есть Vth и Rth, можно проверять разные нагрузки одной строчкой вычислений для каждой.

Самопроверка На что заменяет цепь эквивалент Тевенина?
  1. Два источника напряжения параллельно
  2. Один источник напряжения последовательно с одним резистором
  3. Один источник тока последовательно с одним резистором
  4. Только один резистор

Ответ: Один источник напряжения последовательно с одним резистором. Vth последовательно с Rth. В форме Нортона используется источник тока, но параллельно Rth, а не последовательно.

2Нахождение Vth и Rth

Эти два числа находят двумя отдельными небольшими расчётами.

  • Vth — это напряжение холостого хода: напряжение между a и b, когда к ним ничего не подключено.
  • Rth — это сопротивление, которое видно со стороны выводов a и b при отключённых всех независимых источниках.

Отключение работает так же, как в суперпозиции: источник напряжения становится проводом, источник тока — разрывом.

Эквивалент Нортона — та же цепь в другой форме: источник тока, включённый параллельно тому же Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Самопроверка У цепи Vth = 12 V и Rth = 4 Ω. Чему равен её ток Нортона?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Ответ: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. Это также ток, который потёк бы, если замкнуть a и b накоротко.

3Метод по шагам

  1. Уберите нагрузку (если она есть) и отметьте выводы a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b. Это Vth.
  3. Отключите все независимые источники. Найдите сопротивление между a и b по правилам последовательного и параллельного соединения. Это Rth.
  4. Нарисуйте эквивалент: Vth последовательно с Rth, затем верните нагрузку.
  5. Ток нагрузки равен IL = Vth / (Rth + RL).

Полезный факт для шага 2: при разомкнутых a и b ток не течёт в резисторе, ведущем только к a. Значит, напряжения на нём нет.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Нагрузка RL = 4 Ω подключена к a–b. Найдите эквивалент Тевенина и ток нагрузки IL.

1

Посмотрите на цепь

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Мы заменяем всё слева от a–b на Vth и Rth.

2

Уберите нагрузку и найдите Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

При разомкнутых a–b ток через R3 не течёт, поэтому потенциал точки a равен потенциалу узла между R1 и R2.

Этот узел — делитель напряжения:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Отключите источник и найдите Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

Источник становится проводом. Если смотреть с a: R3 последовательно с (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Верните нагрузку

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

Форма Нортона

IN = 8 / 4 = 2 A

Та же цепь в другой форме: источник 2 A параллельно с 4 Ω даёт тот же 1 A в нагрузке.

Ответ

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω и IL = 1 A.

5Максимальная мощность в нагрузке

Классический дополнительный вопрос: какая нагрузка получает наибольшую мощность?

Ответ: нагрузка, равная сопротивлению Тевенина:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

В примере нагрузка 4 Ω получает 8² / (4·4) = 4 W. Это тот самый ток 1 A, который мы нашли: P = 1² · 4 = 4 W.

Самопроверка У цепи Vth = 10 V и Rth = 5 Ω. Какое сопротивление нагрузки получает наибольшую мощность?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Ответ: 5 Ω. Максимальная передача мощности происходит при RL = Rth = 5 Ω. Тогда нагрузка получает 10²/(4·5) = 5 W.

6Типичные ошибки

  • Оставлять нагрузку подключённой при нахождении Vth или Rth. Сначала уберите её.
  • Забывать отключать источники при нахождении Rth или заменять отключённый источник напряжения разрывом вместо провода.
  • Складывать последовательно резисторы, которые со стороны a и b на самом деле параллельны. Перерисуйте цепь с точки зрения выводов.
  • Учитывать падение напряжения на резисторе, по которому в разомкнутой цепи не течёт ток.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: источник с делителем напряжения. Вы находите Vth или Rth.
  • Средние: то же, но с дополнительным последовательным резистором до вывода, как в примере.
  • Сложные: есть ещё и источник тока, а также нагрузка, ток которой нужно найти. Отключённый источник тока становится разрывом.

Чётко запишите Vth и Rth, прежде чем их использовать. Во многих задачах одна из этих величин нужна по ходу решения.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Найти: Vth (V)

Показать подсказки
  1. Нужны два числа: Rth (отключите все источники и посмотрите на цепь со стороны a–b) и Vth (напряжение на a–b, когда ничего не подключено). Ток Нортона и величины нагрузки следуют из этих двух.
  2. Когда V₁ закорочен, R₁ и R₂ со стороны a–b соединены параллельно.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Показать ответ и пошаговое решение

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 10 ΩКЗR2​8 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, ток через зажимы не течёт, поэтому R₁ и R₂ образуют простой делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Пример 2Средняя
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Найти: Rth (Ω)

Показать подсказки
  1. Нужны два числа: Rth (отключите все источники и посмотрите на цепь со стороны a–b) и Vth (напряжение на a–b, когда ничего не подключено). Ток Нортона и величины нагрузки следуют из этих двух.
  2. Когда V₁ закорочен, R₁ ∥ R₂ со стороны a–b последовательно с R₃. Когда a–b разомкнуты, ток через R₃ не течёт.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Показать ответ и пошаговое решение

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Пример 3Сложная
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Найти: PL (W)

Показать подсказки
  1. Нужны два числа: Rth (отключите все источники и посмотрите на цепь со стороны a–b) и Vth (напряжение на a–b, когда ничего не подключено). Ток Нортона и величины нагрузки следуют из этих двух.
  2. Когда V₁ закорочен, а Iₛ разомкнут, Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Для Vth весь Iₛ должен течь через R₃ в A.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Показать ответ и пошаговое решение

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​4 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Вопросы и ответы

Тевенин и Нортон: что это?

Часто важно лишь то, что происходит на двух выводах цепи, например там, где подключена нагрузка.

Теорема Тевенина гласит: если смотреть с двух выводов a и b, любая цепь из источников и резисторов ведёт себя в точности как один источник напряжения, последовательно соединённый с одним резистором.

Тевенин и Нортон: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.
Тевенин и Нортон: какие ошибки самые частые?
  • Нагрузку оставляют подключённой при нахождении Rth.
  • Последовательно складывают резисторы, которые со стороны зажимов на самом деле соединены параллельно.
  • Забывают, что максимальная мощность передаётся при Rload = Rth.
Тевенин и Нортон: что вы тренируете?
  • Лёгкая: делитель
  • Средняя: с последовательным резистором и нагрузкой
  • Сложная: с источником тока и нагрузкой

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторы

Далее

Мост Уитстона и тензорезисторы

Калькуляторы

Калькулятор эквивалентов Тевенина и Нортона

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 1Теория электрических цепей 2: цепи переменного токаОсновы электротехникиИзмерения и приборыПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Тевенин и Нортон: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Тевенин и НортонЗанимайтесь сейчас: Тевенин и НортонБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.