Переходные процессы RC и RL: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: переходные процессы · RC-цепь · заряд и разряд конденсатора
Бесплатные задачи по теме Переходные процессы RC и RL с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: заряд RC, цепь RL, конденсатор с начальным зарядом.
Бесплатная задачаЛёгкая
Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 10 ms.
Когда вы замыкаете ключ в цепи только с резисторами, каждый ток мгновенно переходит к новому значению.
Конденсатор или катушка индуктивности меняют это. Они запасают энергию, а запасённая энергия не может измениться за нулевое время. Поэтому цепь плавно переходит от старого состояния к новому.
Это плавное изменение называется переходным процессом. Через некоторое время цепь устанавливается, и больше ничего не меняется.
Представьте наполнение ведра через узкий шланг. Ведро — это конденсатор, узкий шланг — резистор. Сначала уровень растёт быстро, затем всё медленнее и медленнее, когда ведро наполняется.
Самопроверка Незаряженный конденсатор подключают к источнику 12 V через резистор. Каково напряжение на конденсаторе сразу после замыкания ключа?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Ответ: 0 V. Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Непосредственно перед замыканием ключа оно было 0 V, значит, и сразу после остаётся 0 V. Оно достигает 12 V только через долгое время.
2Конденсаторы и катушки в начале и в конце
Для каждого элемента вам нужны лишь два правила: что не может измениться скачком и как он ведёт себя после полного установления.
Конденсатор: его напряжение vC не может измениться скачком. Долго после коммутации ток в него не течёт, поэтому он ведёт себя как разрыв цепи (зазор).
Катушка индуктивности: её ток iL не может измениться скачком. Долго после коммутации напряжение на ней отсутствует, поэтому она ведёт себя как короткое замыкание (провод).
Значение сразу после коммутации — это начальное значение, x(0). Значение после установления — конечное значение, x(∞).
Для конденсатора, заряжающегося от источника Vs: vC(0) = 0 и vC(∞) = Vs. Для катушки: i(0) = 0 и i(∞) = Vs/R.
Самопроверка Источник 12 V питает резистор 20 Ω, соединённый последовательно с катушкой индуктивности. Какой ток течёт долго после замыкания ключа?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Ответ: 0,6 A. После установления катушка — просто провод, поэтому ток ограничивает только резистор: 12/20 = 0,6 A. 0 A — это значение сразу после коммутации, а не в конце.
3Постоянная времени
Как быстро происходит изменение, определяет одно число — постоянная времени τ (тау).
τ = R·C τ = L/R
Единицы: kΩ, умноженные на µF, дают миллисекунды. mH, делённые на Ω, тоже дают миллисекунды.
Каждое напряжение и каждый ток следует одной и той же экспоненциальной кривой между начальным и конечным значением:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Через 1τ изменение завершено на 63%. Через 2τ — на 86%, через 3τ — на 95%.
Примерно через 5τ цепь практически полностью установилась.
Для заряжающегося конденсатора, начинающего с 0 V, формула принимает вид:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Самопроверка Чему равна постоянная времени резистора 4,7 kΩ с конденсатором 10 µF?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Ответ: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, потому что kΩ, умноженные на µF, дают миллисекунды. Деление вместо умножения даёт 2,13 ms.
4Метод по шагам
Найдите начальное значение x(0) сразу после коммутации. Используйте правило: vC и iL не могут измениться скачком.
Найдите конечное значение x(∞). Замените конденсатор разрывом, а катушку проводом, затем решите цепь постоянного тока.
Найдите постоянную времени: τ = R·C или τ = L/R, используя сопротивление, которое «видит» конденсатор или катушка.
Подставьте три значения в x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Подставьте время t в той же единице, что и τ, и вычислите.
Если вопрос спрашивает время, решите ту же формулу относительно t. Вам понадобится натуральный логарифм ln.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Конденсатор не заряжен, когда ключ замыкается при t = 0. Найдите постоянную времени и напряжение конденсатора vC при t = 100 ms.
1
Посмотрите на цепь
Ключ подключает Vs = 10 V к конденсатору через R = 10 kΩ. C = 10 µF.
2
Начальное и конечное значение
Конденсатор не заряжен, и его напряжение не может измениться скачком, поэтому vC(0) = 0 V.
Спустя долгое время ток не течёт, поэтому напряжения на R нет. Все 10 V приходятся на C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Постоянная времени
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Напряжение при t = 100 ms
Здесь t в точности равно одной постоянной времени, поэтому t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Проверьте ответ
После одной постоянной времени конденсатор должен быть заряжен на 63%. 63% от 10 V — это 6,3 V, так что ответ подходит.
Оно также ниже источника 10 V, как и должно быть у заряжающегося конденсатора.
Ответ
τ = 100 ms и vC = 6,32 V при t = 100 ms.
6Типичные ошибки
Использовать формулу заряда Vs·(1 − e−t/τ), когда конденсатор уже имеет напряжение. Используйте общую формулу с x(0).
Смешивать единицы: kΩ, умноженные на µF, — это миллисекунды, а не секунды. Держите t и τ в одной единице.
Отвечать Vs·e−t/τ. Это ещё недостающая часть (или напряжение на резисторе), а не напряжение на конденсаторе.
Использовать неверное сопротивление в τ. Используйте сопротивление, которое «видит» конденсатор или катушка.
Самопроверка Конденсатор имеет напряжение 4 V, когда его подключают к источнику 10 V. Чему равно vC через одну постоянную времени? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Ответ: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. Одна лишь формула заряда даёт 6,32 V, что не учитывает начальные 4 V. 2,21 V — недостающая часть.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: заряд RC-цепи от 0 V, как в примере. Вы находите τ или напряжение конденсатора в заданный момент.
Средняя: RL-цепь, где ток катушки начинается с 0. Вы находите i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), напряжение катушки vL = Vs·e−t/τ или время достижения заданного процента конечного тока.
Сложная: конденсатор, который уже имеет напряжение. Вы находите vC в заданный момент или время достижения заданного напряжения.
Чтобы найти время, преобразуйте общую формулу:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
При τ = L/R mH, делённые на Ω, дают ms. Значит, катушка 50 mH при 10 Ω имеет τ = 5 ms.
Конденсатор заряжен до 5 V. При t = 0 ключ замыкается, и конденсатор разряжается через R. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Найти: vC(V)
Показать подсказки
Цепь RC первого порядка имеет постоянную времени τ = RC. При R в kΩ и C в µF постоянная τ получается в ms.
Без источника напряжение конденсатора убывает к нулю: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Кривая разряда
Конденсатор начинает с накопленного напряжения и разряжается до 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Ответ
vC = 2,397 V
Пример 2Средняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 75% конечного значения? Найдите t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Найти: t(ms)
Показать подсказки
Для цепи RL τ = L/R. При L в mH и R в Ω постоянная τ получается в ms.
Сразу после замыкания ток катушки ещё равен нулю; спустя долгое время катушка действует как короткое замыкание, поэтому i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Выразите время
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Ответ
t = 4,159 ms
Пример 3Сложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 8,4 V? Найдите t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Найти: t(ms)
Показать подсказки
Используйте общее решение первого порядка x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Здесь x(0) — накопленное напряжение конденсатора, а x(∞) — напряжение источника, так как в установившемся режиме ток через конденсатор не течёт.
τ = 100 ms.
Показать ответ и пошаговое решение
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Ответ
t = 160,9 ms
Вопросы и ответы
Переходные процессы RC и RL: что это?
Когда вы замыкаете ключ в цепи только с резисторами, каждый ток мгновенно переходит к новому значению.
Это плавное изменение называется переходным процессом. Через некоторое время цепь устанавливается, и больше ничего не меняется.
Переходные процессы RC и RL: как решать задачи шаг за шагом?
Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Переходные процессы RC и RL: какие ошибки самые частые?
Для разряда используют формулу заряда.
Путают единицы: kΩ на µF даёт ms, а не s.
В постоянной времени берут не то сопротивление.
Переходные процессы RC и RL: что вы тренируете?
Лёгкая: заряд RC
Средняя: цепь RL
Сложная: конденсатор с начальным зарядом
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.