Трёхфазная мощность: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: трёхфазные цепи · соединение звездой и треугольником

Бесплатные задачи по теме Трёхфазная мощность с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: напряжения и токи симметричных звезды и треугольника, трёхфазная мощность, компенсация реактивной мощности.

Бесплатная задачаЛёгкая
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, имеет полное сопротивление 24 + j7 Ω на фазу. Она питается от симметричного трёхфазного источника с линейным напряжением 415 V. Найдите действующее значение линейного тока IL.

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
A
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Трёхфазная мощностьЗанимайтесь сейчас: Трёхфазная мощностьБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаянапряжения и токи симметричных звезды и треугольника
  2. Средняятрёхфазная мощность
  3. Сложнаякомпенсация реактивной мощности

Основные формулы

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Изучите тему «Трёхфазная мощность» с нуля

Перед этим: Мощность переменного тока и коэффициент мощности

1Что такое трёхфазная мощность

Почти вся электроэнергия вырабатывается и распределяется как трёхфазный переменный ток. Три провода, называемые линиями или фазами (A, B и C), несут по синусоиде.

Три волны имеют одинаковый размер и частоту, но каждая сдвинута на треть цикла, 120°, относительно следующей.

tABC120°

Представьте трёх человек, по очереди крутящих педали велосипеда: один давит, пока другие отдыхают. Общее усилие остаётся плавным. Так же сбалансированная трёхфазная система выдаёт постоянную общую мощность, из-за чего двигатели работают плавно.

Кроме того, для той же мощности нужно меньше меди, чем для трёх отдельных однофазных цепей.

В этой теме каждая нагрузка симметрична: во всех трёх фазах одинаковый импеданс. Тогда можно рассчитать одну фазу и умножить на три.

Самопроверка На сколько сдвинуто напряжение каждой фазы относительно следующей?
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

Ответ: 120°. Три фазы делят один полный цикл в 360°, поэтому они отстоят на 360/3 = 120°.

2Соединения «звезда» и «треугольник»

У трёхфазной нагрузки три импеданса. Их можно соединить двумя способами.

NABCYABCΔ
  • Y (звезда): каждый импеданс идёт от линии к общей нейтральной точке N.
  • Δ (треугольник): каждый импеданс стоит между двумя линиями, образуя треугольник.

Напряжение между двумя линиями — это линейное напряжение VL, значение, которое обычно указывают (400 V, 415 V, 208 V…). Напряжение на одном импедансе — это фазное напряжение Vph. Та же идея относится к линейному току IL и фазному току Iph.

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

В обоих случаях одна фаза подчиняется закону Ома: Iph = Vph / |Z|, где |Z| = √(R² + X²).

Самопроверка Нагрузка, соединённая звездой, питается от сети 400 V (линейное). Какое напряжение приложено к каждому импедансу?
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

Ответ: 231 V. В звезде Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V. 400 V — это случай треугольника, 693 V умножает на √3, а 133 V делит на √3 дважды.

3Трёхфазная мощность

Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы. Записанная через линейные величины, та же полная мощность принимает вид:

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

Эта формула одинакова для Y и Δ. Коэффициент мощности cos φ — это коэффициент мощности импеданса одной фазы: cos φ = R/|Z|.

Если вы знаете фазный ток и сопротивление, можно также использовать P = 3·Iph²·R. Активную мощность потребляет только сопротивление.

Самопроверка Симметричная нагрузка потребляет 10 A на линию от сети 400 V при коэффициенте мощности 0,9. Какую полную активную мощность она потребляет?
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

Ответ: 6235 W. P = √3·400·10·0,9 = 6235 W. Пропуск √3 даёт 3600 W, использование 3 вместо √3 с линейными величинами даёт 10800 W, а 6928 W забывает коэффициент мощности.

4Метод по шагам

  1. Отметьте соединение (Y или Δ) и линейное напряжение VL.
  2. Найдите фазное напряжение: Vph = VL/√3 для Y, Vph = VL для Δ.
  3. Найдите |Z| = √(R² + X²) и фазный ток Iph = Vph/|Z|.
  4. Найдите линейный ток: IL = Iph для Y, IL = √3·Iph для Δ.
  5. Найдите мощность: P = 3·Iph²·R или P = √3·VL·IL·cos φ, где cos φ = R/|Z|.

Работайте в одной фазе, пока это возможно. К линейным величинам переходите только в конце.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, имеет импеданс 6 + j8 Ω на фазу и питается от сети 400 V (линейное). Найдите линейный ток IL и полную активную мощность P.

1

Фазное напряжение

При соединении звездой каждый импеданс находится под фазным напряжением.

Vph = 400 / √3 = 230,9 V
2

Модуль полного сопротивления

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

Коэффициент мощности cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0,6.

3

Фазный и линейный ток

Iph = 230,9 / 10 = 23,1 A

В звезде линейный ток равен фазному, поэтому IL = 23,1 A.

4

Полная активная мощность

P = 3·Iph²·R = 3·23,1²·6 = 9600 W
5

Проверьте ответ

По линейным величинам: P = √3·400·23,1·0,6 = 9600 W. Обе формулы согласуются.

Ответ

IL = 23,1 A и P = 9,6 kW.

6Типичные ошибки

  • Приложение линейного напряжения к импедансу звезды. В звезде каждый импеданс находится под VL/√3.
  • Забытое, что в треугольнике линейный ток в √3 раз больше фазного.
  • Деление на R вместо |Z| при нахождении тока.
  • Использование 3 с линейными величинами или √3 с фазными в формуле мощности.
Самопроверка Те же импедансы 6 + j8 Ω теперь соединены треугольником к сети 400 V. Чему равен линейный ток?
  1. 115 A
  2. 23,1 A
  3. 40 A
  4. 69,3 A

Ответ: 69,3 A. В треугольнике Vph = 400 V, поэтому Iph = 400/10 = 40 A и IL = √3·40 = 69,3 A. 40 A — это только фазный ток, а 115 A делит на R вместо |Z|.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: нагрузка Y или Δ с импедансом вроде 3 + j4 Ω. Вы находите линейный или фазный ток.
  • Средняя: полная активная мощность по импедансу или по VL, IL и коэффициенту мощности. В вопросе о двигателе даны выходная мощность и КПД: сначала найдите Pin = Pout/η, затем IL = Pin/(√3·VL·cos φ).
  • Сложная: коррекция коэффициента мощности трёхфазной батареей конденсаторов. Вы находите реактивную мощность QC или ёмкость на фазу.

Для коррекции QC = P·(tan φ1 − tan φ2), как в однофазной цепи. Каждый из трёх конденсаторов обеспечивает треть этой мощности:

C = QC / (3·ω·V²)

Здесь V — напряжение на каждом конденсаторе: VL для Δ и VL/√3 для Y. Поэтому батарея в звезде требует втрое большей ёмкости, чем батарея в треугольнике.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, имеет полное сопротивление 24 + j7 Ω на фазу. Она питается от симметричного трёхфазного источника с линейным напряжением 400 V. Найдите действующее значение линейного тока IL.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

Найти: IL (A)

Показать подсказки
  1. При соединении треугольником каждое сопротивление включено между двумя линейными проводами.
  2. Поэтому каждое сопротивление находится под полным линейным напряжением, и IL = √3·Iph.
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
Показать ответ и пошаговое решение

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Модуль полного сопротивления

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

Фазный ток

Каждое сопротивление включено между двумя линейными проводами и находится под напряжением VL.

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

Ток линии

IL = √3·Iph = √3·16 = 27,71 A

Ответ

IL = 27,71 A
Пример 2Средняя
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j18 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω на фазу

Найти: P (kW)

Показать подсказки
  1. При соединении треугольником каждое сопротивление находится под полным линейным напряжением.
  2. Найдите фазный ток, затем P = 3·Iph²·R.
  3. Iph = 13,33 A.
Показать ответ и пошаговое решение

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = VL = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Ответ

P = 12,8 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

Пример 3Сложная
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz

Найти: Cph (µF)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите QC = P·(tan φ1 − tan φ2).
  2. Каждый конденсатор даёт QC/3.
  3. В звезде каждый конденсатор находится под VL/√3: QC/3 = (VL/√3)²·ω·C.
Показать ответ и пошаговое решение

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277,1²) = 370,2 µF

Ответ

Cph = 370,2 µF

Вопросы и ответы

Трёхфазная мощность: что это?

Почти вся электроэнергия вырабатывается и распределяется как трёхфазный переменный ток. Три провода, называемые линиями или фазами (A, B и C), несут по синусоиде.

Три волны имеют одинаковый размер и частоту, но каждая сдвинута на треть цикла, 120°, относительно следующей.

Трёхфазная мощность: как решать задачи шаг за шагом?

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Трёхфазная мощность: какие ошибки самые частые?
  • Это фазный ток через одно сопротивление. При соединении треугольником линейный ток в √3 раз больше.
  • Это результат для соединения звездой. При соединении треугольником каждое сопротивление находится под полным линейным напряжением.
  • Делите на модуль полного сопротивления |Z| = √(R² + X²), а не только на R.
Трёхфазная мощность: что вы тренируете?
  • Лёгкая: напряжения и токи симметричных звезды и треугольника
  • Средняя: трёхфазная мощность
  • Сложная: компенсация реактивной мощности

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Калькуляторы

Калькулятор трёхфазной мощностиКалькулятор падения напряжения

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 2: цепи переменного токаОсновы электротехникиЭлектроэнергетика и электрические машиныСиловая электроника и электроприводыПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Трёхфазная мощность: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Трёхфазная мощностьЗанимайтесь сейчас: Трёхфазная мощностьБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.