Метод узловых потенциалов: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: МУП · метод узловых напряжений · первый закон Кирхгофа

Бесплатные задачи по теме Метод узловых потенциалов с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: 1 неизвестный узел, 2 неизвестных узла, 2 узла, 3 источника.

Бесплатная задачаЛёгкая
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Метод узловых потенциаловЗанимайтесь сейчас: Метод узловых потенциаловБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкая1 неизвестный узел
  2. Средняя2 неизвестных узла
  3. Сложная2 узла, 3 источника

Как решать задачи по теме «Метод узловых потенциалов»

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Типичные ошибки

  • Путают знак тока ветви в уравнениях двух узлов.
  • Составляют уравнение для опорного узла.
  • Забывают источник тока, втекающий в узел или вытекающий из него.

Основные формулы

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Изучите тему «Метод узловых потенциалов» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы

1Что такое метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов — это стандартный способ найти все напряжения в цепи. Он работает даже тогда, когда правил последовательного и параллельного соединения недостаточно.

Узел — это точка, в которой сходятся две или более частей цепи. Целый отрезок простого провода считается одним узлом, потому что вдоль провода нет падения напряжения.

Вы выбираете один узел как опорный, его также называют землёй, и присваиваете ему 0 V. Напряжение каждого другого узла измеряется от этого узла.

Представьте высоты на карте, отсчитываемые от уровня моря. Вода течёт сверху вниз, а течение в трубе зависит от разности высот её концов.

Когда вы знаете напряжения узлов, закон Ома даёт все токи. Поэтому напряжения узлов — единственные неизвестные, которые вам нужны.

Самопроверка Какой узел по определению имеет напряжение 0 V?
  1. Каждый узел без источника
  2. Опорный узел (земля), который вы выбрали
  3. Узел рядом с самым большим источником
  4. Узел с наибольшим числом резисторов

Ответ: Опорный узел (земля), который вы выбрали. Опорный узел вы выбираете сами и называете его 0 V. Все остальные напряжения узлов отсчитываются от него.

2Закон токов Кирхгофа

Заряд не может накапливаться в узле. Поэтому весь ток, втекающий в узел, должен снова вытекать из него. Это первый закон Кирхгофа (KCL).

ΣIin = ΣIout

Например, если в узел втекают 3 A и 2 A, то в сумме 5 A должны вытекать из него по другим ветвям.

Ток в каждом резисторе вы записываете по закону Ома через напряжения на его двух концах:

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

Это ток от a к b. Если результат отрицателен, ток на самом деле течёт от b к a. Это нормально: сохраняйте знак.

Самопроверка Узел a находится под напряжением 9 V, а узел b — 4 V. Между ними включён резистор 5 Ω. Какой ток течёт от a к b?
  1. 1 A
  2. 1,8 A
  3. 2,6 A
  4. −1 A

Ответ: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Сложение напряжений даёт 2,6 A, перестановка их даёт −1 A, а 1,8 A не учитывает напряжение в b.

3Метод по шагам

  1. Выберите опорный узел. Обычно берут нижний провод. Отметьте его символом земли.
  2. Найдите узлы, напряжение которых вы уже знаете. Узел, соединённый с землёй источником напряжения, имеет напряжение этого источника.
  3. Назовите все остальные узлы (A, B, …). Их напряжения VA, VB, … — неизвестные.
  4. В каждом неизвестном узле запишите KCL: токи, уходящие через резисторы, в сумме равны току, вводимому источниками тока.
  5. Запишите каждый ток резистора как (Vузла − Vдругого конца)/R, затем решите уравнения.
  6. Используйте закон Ома, чтобы найти любой ток ветви, который запрашивает вопрос.

Если записывать каждый ток резистора как уходящий из узла, знаки получаются автоматически. Не нужно сначала угадывать реальные направления.

Вам нужно по одному уравнению на каждый неизвестный узел. Никогда не записывайте уравнение для опорного узла: его напряжение уже известно.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Найдите напряжение узла VA и ток IR1 через R1 от источника к A.

1

Посмотрите на цепь

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

Нижний провод — земля. Верх V1 находится на 15 V выше земли, поэтому этот узел известен: 15 V.

Неизвестен только узел A, поэтому нужно одно уравнение.

2

Запишите KCL в A

Из A уходят два резистора: R1 идёт к узлу 15 V, а R2 идёт к земле. Источник тока вводит в A 1 A.

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

Найдите VA

Умножьте обе части на 6, чтобы избавиться от дробей.

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

Найдите ток в R₁

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

Результат положителен, значит, 1 A действительно течёт от источника к A.

5

Проверьте ответ

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

Через R2 течёт 12/6 = 2 A вниз к земле. В A втекают 1 A через R1 и 1 A от источника тока.

Это 2 A входящих и 2 A исходящих, поэтому KCL в A выполняется.

Ответ

VA = 12 V и IR1 = 1 A.

5Два неизвестных узла

При двух неизвестных узлах вы записываете по одному уравнению KCL в каждом узле и решаете два уравнения вместе.

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

В узле A уходят три резистора: R1, R2 и R3. В узле B уходят два резистора, а источник тока вводит 2 A.

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

Умножьте первое уравнение на 6, а второе на 3:

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

Сложите два уравнения. Слагаемые с VB сокращаются, поэтому 6·VA = 24.

VA = 4 V, VB = 5 V

Обратите внимание, что R3 входит в оба уравнения, как (VA − VB) в A и как (VB − VA) в B. Это быстрая проверка правильности ваших уравнений.

6Типичные ошибки

  • Путать знак общего резистора: в A это (VA − VB), а в B — (VB − VA).
  • Забыть источник тока, который входит в узел или выходит из него.
  • Записывать уравнение KCL для опорного узла или считать известный узел неизвестным.
  • Отбрасывать знак минус у отрицательного тока. Отрицательный результат означает, что ток течёт против стрелки.
Самопроверка В узле A один резистор 4 Ω идёт к земле, а другой резистор 4 Ω идёт к узлу 12 V. Источник 2 A вводит ток в A. Чему равно VA?
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

Ответ: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 даёт 2·VA − 12 = 8, поэтому VA = 10 V. Если забыть источник, получится 6 V; если считать его уходящим из A, получится 2 V.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: один неизвестный узел A с источником напряжения и либо источником тока, либо вторым источником напряжения. Достаточно одного уравнения KCL.
  • Средняя: два неизвестных узла A и B с источником тока в B. Запишите два уравнения и решите их вместе.
  • Сложная: два неизвестных узла и три источника: два источника напряжения и источник тока. Метод тот же, слагаемых больше.

Вопрос просит напряжение узла или ток через один резистор в направлении стрелки.

Для тока ветви сначала найдите напряжения узлов. Затем используйте I = (Vначала − Vконца)/R вдоль стрелки.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите напряжение узла VA.

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

Найти: VA (V)

Показать подсказки
  1. Неизвестно только напряжение узла A. Запишите одно уравнение ЗТК: сумма токов ветвей, вытекающих из A, равна нулю.
  2. Ток каждой ветви равен (VA − Vk)/Rk. Соберите члены с VA в одной части.
  3. Σ1/R = 0,9583 S.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

Находим VA

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V

Ответ

VA = 13,04 V
Пример 2Средняя
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1,5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.

Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

Найти: Ix (A)

Показать подсказки
  1. Источник напряжения между двумя узлами, не соединёнными с землёй, задаёт их разность: VB − VA = Vs.
  2. Запишите одно уравнение ЗТК для супер-узла, охватывающего A, B и источник: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
  3. VA = 1 V.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

Решите

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

Ток через источник напряжения

Всё, что проходит через источник от A к B, уходит из узла B через R₂.

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A

Ответ

Ix = 1,333 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

Пример 3Сложная
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 0,5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

Найти: IR4 (A)

Показать подсказки
  1. Нижний провод примите за землю (0 V). Узлы, соединённые напрямую с источником напряжения, уже известны, поэтому неизвестные — VA и VB.
  2. Запишите ЗТК в A: для каждого резистора (VA − Vдругой конец)/R, и приравняйте их сумму к току источника, втекающему в A.
  3. Решение даёт VA = 2,455 V. Тогда IR4 = (потенциал в начале стрелки − потенциал на её конце)/R4.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05

Решите

Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V

Ответ

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A

Вопросы и ответы

Метод узловых потенциалов: что это?

Метод узловых потенциалов — это стандартный способ найти все напряжения в цепи. Он работает даже тогда, когда правил последовательного и параллельного соединения недостаточно.

Вы выбираете один узел как опорный, его также называют землёй, и присваиваете ему 0 V. Напряжение каждого другого узла измеряется от этого узла.

Метод узловых потенциалов: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.
Метод узловых потенциалов: какие ошибки самые частые?
  • Путают знак тока ветви в уравнениях двух узлов.
  • Составляют уравнение для опорного узла.
  • Забывают источник тока, втекающий в узел или вытекающий из него.
Метод узловых потенциалов: что вы тренируете?
  • Лёгкая: 1 неизвестный узел
  • Средняя: 2 неизвестных узла
  • Сложная: 2 узла, 3 источника

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторы

Далее

Схемы на операционных усилителях

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 1Основы электротехникиПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Метод узловых потенциалов: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Метод узловых потенциаловЗанимайтесь сейчас: Метод узловых потенциаловБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.