Мощность переменного тока и коэффициент мощности: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: активная мощность · реактивная мощность · полная мощность · компенсация реактивной мощности

Бесплатные задачи по теме Мощность переменного тока и коэффициент мощности с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: P и Q нагрузки, ток линии, компенсация реактивной мощности.

Бесплатная задачаЛёгкая
PQ = ?S = V·Iφ

Однофазная нагрузка потребляет 11 A (действующее значение) от сети 240 V (действующее значение) при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Найдите реактивную мощность Q, которую она потребляет.

V = 240 VI = 11 Apf = cos φ = 0,7
var
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Мощность переменного тока и коэффициент мощностиЗанимайтесь сейчас: Мощность переменного тока и коэффициент мощностиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. ЛёгкаяP и Q нагрузки
  2. Средняяток линии
  3. Сложнаякомпенсация реактивной мощности

Основные формулы

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Изучите тему «Мощность переменного тока и коэффициент мощности» с нуля

Перед этим: Полное сопротивление и комплексные амплитуды

1Что такое мощность переменного тока

В цепи постоянного тока мощность — это просто P = V·I. В цепи переменного тока с катушкой или конденсатором ток сдвинут во времени относительно напряжения на угол φ.

Из-за этого сдвига часть энергии лишь перетекает туда и обратно между источником и нагрузкой. Полезной работы она не совершает, но провода всё равно должны пропускать для неё ток.

Представьте кружку пива. Пиво — это полезная часть, пена занимает место, но её не выпить, а кружка должна вместить и то и другое.

  • Активная мощность P, в ваттах (W): полезная часть, которая превращается в тепло, свет или движение (пиво).
  • Реактивная мощность Q, в вольт-амперах реактивных (var): часть, которая перетекает туда и обратно (пена).
  • Полная мощность S, в вольт-амперах (VA): то, что должны передавать источник и провода (кружка).
Самопроверка Какой вид мощности превращается в тепло, свет или механическую работу?
  1. Активная мощность P, в W
  2. Все три в равной мере
  3. Полная мощность S, в VA
  4. Реактивная мощность Q, в var

Ответ: Активная мощность P, в W. Полезную работу совершает только активная мощность P. Q лишь перетекает туда и обратно, а S — это общая мощность, которую должен обеспечить источник.

2Треугольник мощностей и коэффициент мощности

Три мощности образуют прямоугольный треугольник. Угол φ равен углу комплексного сопротивления нагрузки.

PQSφ
S = V·I P = S·cos φ Q = S·sin φ
S = √(P² + Q²) Q = P·tan φ

Коэффициент мощности — это cos φ = P/S. Он показывает, какая доля полной мощности совершает полезную работу. Коэффициент мощности, равный 1, идеален.

У двигателей и других катушек отстающий коэффициент мощности: ток отстаёт от напряжения. Конденсаторы дают опережающий коэффициент мощности.

Самопроверка Нагрузка потребляет 10 A от сети 230 V при коэффициенте мощности 0,8. Какую активную мощность она потребляет?
  1. 1380 W
  2. 1840 W
  3. 2300 W
  4. 2875 W

Ответ: 1840 W. P = V·I·cos φ = 230·10·0,8 = 1840 W. 2300 W — это полная мощность S, 1380 W получается при использовании sin φ = 0,6 вместо cos φ, а 2875 W — при делении на коэффициент мощности.

3Метод по шагам

  1. Запишите, что вам известно: V, I, P, коэффициент мощности cos φ и является ли он отстающим или опережающим.
  2. Найдите угол: φ = arccos(коэффициент мощности). Тогда у вас будут также sin φ и tan φ.
  3. Если даны V и I, начните с S = V·I. Затем P = S·cos φ и Q = S·sin φ.
  4. Если дана P, используйте Q = P·tan φ и S = P / cos φ.
  5. Для тока в линии используйте I = P / (V·cos φ), где P в ваттах.

Нарисуйте треугольник с известными числами. Одного взгляда достаточно, чтобы понять, правдоподобен ли ответ: S всегда самая длинная сторона.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Однофазный двигатель потребляет 4,6 kW при отстающем коэффициенте мощности 0,8 от сети 230 V. Найдите ток в линии I и реактивную мощность Q.

1

Найдите угол

φ = arccos(0,8) = 36,9°

Значит, sin φ = 0,6 и tan φ = 0,75.

2

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности. Используйте ватты, а не киловатты.

I = P / (V·cos φ) = 4600 / (230·0,8) = 25 A
3

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 4,6·0,75 = 3,45 kvar
4

Проверьте ответ

4,6 kW3,45 kvar5,75 kVAφ

S = V·I = 230·25 = 5750 VA = 5,75 kVA. Тогда Q = S·sin φ = 5,75·0,6 = 3,45 kvar, тот же результат.

Также √(4,6² + 3,45²) = 5,75, так что треугольник сходится.

Ответ

I = 25 A и Q = 3,45 kvar.

5Коррекция коэффициента мощности

Низкий коэффициент мощности означает большой ток при той же полезной мощности. Это стоит денег: нужны более толстые кабели, растут потери, поэтому коэффициент мощности часто повышают.

Конденсатор, подключённый параллельно нагрузке, поставляет реактивную мощность на месте. Активная мощность P остаётся прежней; уменьшается лишь реактивная мощность, потребляемая от сети.

QC = P·(tan φ1 − tan φ2)
12 kW16 kvarS1​φ1​7 kvar

Пример: нагрузка 12 kW при коэффициенте мощности 0,6 имеет tan φ1 = 1,33, значит Q1 = 16 kvar. Чтобы достичь 0,8 (tan φ2 = 0,75), может потребоваться всего Q2 = 9 kvar. Конденсатор обеспечивает 16 − 9 = 7 kvar.

В сети 400 V ток падает с 12000/(400·0,6) = 50 A до 12000/(400·0,8) = 37,5 A.

Ёмкость следует из QC = V²·ωC:

C = QC / (2π·f·V²)
Самопроверка Нагрузка 20 kW имеет tan φ1 = 1, и нужно достичь tan φ2 = 0,5. Какую реактивную мощность должен обеспечить конденсатор?
  1. 10 kvar
  2. 20 kvar
  3. 30 kvar
  4. 40 kvar

Ответ: 10 kvar. QC = P·(tan φ1 − tan φ2) = 20·(1 − 0,5) = 10 kvar. 20 kvar — это вся прежняя реактивная мощность, что дало бы коэффициент мощности 1.

6Типичные ошибки

  • Путать cos φ и sin φ. P связана с cos φ, Q — с sin φ.
  • Подставлять kW вместе с V и получать ток в 1000 раз меньше. Сначала переведите в ватты.
  • Умножать на коэффициент мощности при поиске тока. Ток больше P/V, поэтому нужно делить.
  • Думать, что конденсатор меняет активную мощность. Он меняет только Q, а значит, S и I.
Самопроверка Нагрузка потребляет 2 kW при коэффициенте мощности 0,8 от сети 250 V. Каков ток в линии?
  1. 0,01 A
  2. 10 A
  3. 6,4 A
  4. 8 A

Ответ: 10 A. I = P/(V·cos φ) = 2000/(250·0,8) = 10 A. Если оставить P в kW, получится 0,01 A, умножение на коэффициент мощности даёт 6,4 A, а 8 A получается, если не учитывать коэффициент мощности.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: нагрузка с заданными V, I и коэффициентом мощности. Нужно найти активную мощность P или реактивную мощность Q.
  • Средняя: двигатель с заданными P (в kW), коэффициентом мощности и V. Нужно найти ток в линии I или реактивную мощность Q.
  • Сложная: коррекция коэффициента мощности. Нужно найти реактивную мощность конденсатора QC, его ёмкость C или новый ток в линии.

Для нового тока в линии после коррекции используйте новый коэффициент мощности: Inew = P / (V·cos φ2).

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
P = ?QS = V·Iφ

Однофазная нагрузка потребляет 9 A (действующее значение) от сети 400 V (действующее значение) при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном). Найдите активную мощность P, которую она потребляет.

V = 400 VI = 9 Apf = cos φ = 0,9

Найти: P (W)

Показать подсказки
  1. Активная, реактивная и полная мощности образуют прямоугольный треугольник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ и S = V·I, где cos φ — коэффициент мощности.
  2. P = V·I·cos φ.
  3. S = 3600 VA, φ = 25,84°.
Показать ответ и пошаговое решение

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Полная мощность и угол

S = V·I = 400·9 = 3600 VA
φ = arccos(0,9) = 25,84°

Активная мощность

P = S·cos φ = 3600·0,9 = 3240 W

Ответ

P = 3240 W
Пример 2Средняя
P = 35 kWQ = ?Sφ

Однофазный двигатель потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 35 kWpf = 0,7V = 230 V

Найти: Q (kvar)

Показать подсказки
  1. Активная, реактивная и полная мощности образуют прямоугольный треугольник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ и S = V·I, где cos φ — коэффициент мощности.
  2. Q = P·tan φ.
  3. φ = 45,57°.
Показать ответ и пошаговое решение

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 35·1,02 = 35,71 kvar

Ответ

Q = 35,71 kvar
Пример 3Сложная
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии Inew.

P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

Найти: Inew (A)

Показать подсказки
  1. Активная, реактивная и полная мощности образуют прямоугольный треугольник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ и S = V·I, где cos φ — коэффициент мощности.
  2. Конденсатор поставляет QC = P·(tan φ₁ − tan φ₂) и не меняет P.
  3. QC = 37,82 kvar.
Показать ответ и пошаговое решение

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,82 kvar

Новый ток линии

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A

Ответ

Inew = 197,4 A

Вопросы и ответы

Мощность переменного тока и коэффициент мощности: что это?

В цепи постоянного тока мощность — это просто P = V·I. В цепи переменного тока с катушкой или конденсатором ток сдвинут во времени относительно напряжения на угол φ.

Из-за этого сдвига часть энергии лишь перетекает туда и обратно между источником и нагрузкой. Полезной работы она не совершает, но провода всё равно должны пропускать для неё ток.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности: как решать задачи шаг за шагом?

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности: что вы тренируете?
  • Лёгкая: P и Q нагрузки
  • Средняя: ток линии
  • Сложная: компенсация реактивной мощности

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Далее

Трёхфазная мощность

Калькуляторы

Калькулятор компенсации реактивной мощности

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 2: цепи переменного токаОсновы электротехникиЭлектроэнергетика и электрические машиныСиловая электроника и электроприводыПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Мощность переменного тока и коэффициент мощности: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Мощность переменного тока и коэффициент мощностиЗанимайтесь сейчас: Мощность переменного тока и коэффициент мощностиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.