Трансформаторы: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Трансформаторы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: коэффициент трансформации, токи и мощность, КПД и потери.

Бесплатная задачаЛёгкая
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

Идеальный трансформатор должен понижать 11500 V до 230 V. Его первичная обмотка имеет 5000 витков. Сколько витков N2 нужно во вторичной обмотке?

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: ТрансформаторыЗанимайтесь сейчас: ТрансформаторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаякоэффициент трансформации
  2. Средняятоки и мощность
  3. СложнаяКПД и потери

Основные формулы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Изучите тему «Трансформаторы» с нуля

Перед этим: Полное сопротивление и комплексные амплитуды

1Что такое трансформатор

Трансформатор преобразует переменное напряжение в более высокое или более низкое переменное напряжение. Электростанции повышают напряжение, чтобы передавать энергию далеко; местные трансформаторы понижают его до 230 V для домов.

У него две катушки провода, намотанные на один железный сердечник. Катушка, подключённая к источнику, — это первичная обмотка (1). Катушка, подключённая к нагрузке, — вторичная обмотка (2).

RL​N1​N2​V1​V2​

Переменный ток в первичной обмотке создаёт в сердечнике изменяющееся магнитное поле. Это изменяющееся поле индуцирует напряжение в каждом витке вторичной обмотки.

Постоянный ток создаёт постоянное поле, а постоянное поле ничего не индуцирует. Поэтому трансформатор работает только с переменным током.

Самопроверка Что даёт идеальный трансформатор на вторичной обмотке, если его первичная обмотка подключена к батарее 12 V (постоянный ток)?
  1. 0 V, потому что постоянное поле не индуцирует напряжение
  2. 12 V, как и на первичной обмотке
  3. Напряжение, заданное коэффициентом трансформации
  4. Переменное напряжение 12 V

Ответ: 0 V, потому что постоянное поле не индуцирует напряжение. Напряжение индуцирует только изменяющееся магнитное поле. Постоянный ток создаёт постоянное поле, поэтому вторичная обмотка ничего не даёт, когда ток установился.

2Коэффициент трансформации

Каждый виток провода на сердечнике получает одно и то же напряжение. Поэтому напряжение каждой катушки пропорционально числу её витков N.

a = N1 / N2 = V1 / V2

Идеальный трансформатор не теряет мощности, поэтому мощность на входе равна мощности на выходе: V1·I1 = V2·I2. Значит, токи идут наоборот:

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • Понижающий (a > 1): на вторичной обмотке напряжение ниже, ток выше.
  • Повышающий (a < 1): на вторичной обмотке напряжение выше, ток ниже.
Самопроверка Идеальный трансформатор имеет 400 витков первичной и 200 витков вторичной обмотки. Первичная обмотка подключена к 240 V. Каково напряжение на вторичной обмотке?
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

Ответ: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V. Перевёрнутое отношение даёт 480 V.

3Метод по шагам

  1. Найдите коэффициент трансформации a = N1/N2 или a = V1/V2 по номинальным напряжениям.
  2. Найдите напряжение с другой стороны: V2 = V1/a.
  3. Если подключена нагрузка, найдите её ток по закону Ома: I2 = V2/RL.
  4. Найдите ток с другой стороны: I1 = I2/a. Сторона высокого напряжения несёт малый ток.
  5. Проверьте по мощности: V1·I1 должно равняться V2·I2.

Быстрая проверка на здравый смысл: сторона с большим числом витков имеет более высокое напряжение и более низкий ток.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Идеальный трансформатор с отношением витков N1:N2 = 10:1 имеет на первичной обмотке 2300 V. К вторичной обмотке подключён резистор 23 Ω. Найдите V2, I2 и первичный ток I1.

1

Посмотрите на цепь

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

Коэффициент трансформации a = 10, поэтому это понижающий трансформатор.

2

Вторичное напряжение

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

Вторичный ток

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

Первичный ток

Отношение токов обратно отношению напряжений.

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

Проверьте ответ

Мощность на входе: 2300·1 = 2300 W. Мощность на выходе: 230·10 = 2300 W. Они равны, как и должно быть для идеального трансформатора.

Ответ

V2 = 230 V, I2 = 10 A и I1 = 1 A.

5Номиналы, приведённые нагрузки и потери

Трансформатор имеет номинал в kVA, например «10 kVA, 7200/240 V». Номинальный ток каждой обмотки равен номинальной мощности, делённой на напряжение этой обмотки:

I = S / V

Со стороны первичной обмотки нагрузка RL на вторичной выглядит больше в a² раз:

RL′ = a²·RL

В примере 23 Ω выглядят как 10²·23 = 2300 Ω со стороны первичной обмотки. Тогда I1 = 2300/2300 = 1 A, тот же ответ.

В реальном трансформаторе потери бывают двух видов:

  • Потери в сердечнике Pcore: в железе. Они одинаковы при любой нагрузке.
  • Потери в меди Pcu: в обмотках. Они растут пропорционально квадрату доли нагрузки x (x = 0,5 при половинной нагрузке): Pcu = x²·Pcu,fl.
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

КПД наибольший при нагрузке, где потери в меди равны потерям в сердечнике:

x = √(Pcore / Pcu,fl)
Самопроверка Трансформатор 25 kVA имеет потери в сердечнике 75 W и потери в меди при полной нагрузке 300 W. При какой нагрузке его КПД наибольший?
  1. 12,5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6,25 kVA

Ответ: 12,5 kVA. x = √(75/300) = √0,25 = 0,5, поэтому 0,5·25 = 12,5 kVA. Забытый квадратный корень даёт x = 0,25 и 6,25 kVA.

6Типичные ошибки

  • Перевёрнутое отношение. Сторона с большим числом витков имеет более высокое напряжение.
  • Использование отношения напряжений для токов. Токи идут наоборот: на стороне высокого напряжения ток малый.
  • Использование неверного напряжения обмотки для номинального тока. Каждая обмотка использует своё напряжение в I = S/V.
  • Масштабирование потерь в меди с x вместо x². При половинной нагрузке они составляют четверть значения при полной нагрузке.
Самопроверка Трансформатор 10 kVA, 7200/240 V работает при номинальной нагрузке. Какой ток течёт в обмотке низкого напряжения?
  1. 0,0417 A
  2. 1,39 A
  3. 30 A
  4. 41,7 A

Ответ: 41,7 A. I = S/V = 10000/240 = 41,7 A. Использование 7200 V даёт ток обмотки высокого напряжения, 1,39 A. Оставленное S в kVA даёт 0,0417 A, а 30 — это всего лишь коэффициент трансформации.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: коэффициент трансформации. Вы находите напряжение вторичной обмотки или число витков вторичной обмотки при заданном понижении.
  • Средняя: токи и мощность. Вы находите номинальный ток обмотки, первичный ток с резистором на вторичной обмотке, сопротивление, видимое со стороны первичной обмотки, или коэффициент трансформации для согласования громкоговорителя с усилителем.
  • Сложная: КПД и потери. Вы находите полные потери при частичной нагрузке, нагрузку для максимального КПД или потери в меди при полной нагрузке по заданному КПД.

Для согласования нагрузка должна выглядеть как сопротивление источника: a²·RL = Rsource, поэтому a = √(Rsource/RL).

Для потерь при частичной нагрузке сложите постоянные потери в сердечнике и x²·Pcu,fl. Коэффициент мощности важен для выходной мощности, а не для потерь.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

Идеальный трансформатор имеет 60 витков в первичной обмотке и 3000 витков во вторичной. Первичная обмотка подключена к сети переменного тока 240 V. Найдите вторичное напряжение V2.

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

Найти: V2 (V)

Показать подсказки
  1. Напряжение на виток одинаково в обеих обмотках.
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
Показать ответ и пошаговое решение

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Отношение напряжений равно отношению витков

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

Ответ

V2 = 12000 V
Пример 2Средняя
4 ΩN1​N2​256 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 256 Ω питает громкоговоритель 4 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 256 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

Найти: a

Показать подсказки
  1. Со стороны первичной обмотки нагрузка выглядит как a²·RL.
  2. Приравняйте a²·RL выходному сопротивлению усилителя.
  3. a² = 256/4.
Показать ответ и пошаговое решение

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Ответ

a = 8
Пример 3Сложная
pf 0,9525 kVA, 25% нагрузка

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 75 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,95

Найти: Ploss (W)

Показать подсказки
  1. Какие потери меняются с нагрузкой, а какие нет?
  2. Потери в меди ∝ I², а ток пропорционален нагрузке.
  3. x² = 0,0625.
Показать ответ и пошаговое решение

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 75 + 18,75 = 93,75 W

Ответ

Ploss = 93,75 W

КПД при этой нагрузке η = 98,45%.

Вопросы и ответы

Трансформаторы: что это?

Трансформатор преобразует переменное напряжение в более высокое или более низкое переменное напряжение. Электростанции повышают напряжение, чтобы передавать энергию далеко; местные трансформаторы понижают его до 230 V для домов.

У него две катушки провода, намотанные на один железный сердечник. Катушка, подключённая к источнику, — это первичная обмотка (1). Катушка, подключённая к нагрузке, — вторичная обмотка (2).

Трансформаторы: как решать задачи шаг за шагом?

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Трансформаторы: какие ошибки самые частые?
  • Коэффициент трансформации перевёрнут. Во вторичной обмотке больше витков, поэтому трансформатор повышает напряжение: V2 = V1·N2/N1.
  • Сопротивление пересчитывается пропорционально квадрату коэффициента трансформации, поэтому извлеките корень: a = √(Rs/RL).
  • Отношение перевёрнуто. Первичная обмотка обращена к большему сопротивлению, поэтому ей нужно больше витков.
Трансформаторы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: коэффициент трансформации
  • Средняя: токи и мощность
  • Сложная: КПД и потери

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Калькуляторы

Калькулятор коэффициента трансформации

Курсы с этой темой

Основы электротехникиЭлектроэнергетика и электрические машиныПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Трансформаторы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: ТрансформаторыЗанимайтесь сейчас: ТрансформаторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.