Дифференциальные уравнения: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: ДУ · обыкновенные дифференциальные уравнения

Бесплатные задачи по теме Дифференциальные уравнения с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: экспоненциальный рост и убывание, Закон охлаждения Ньютона, линейные первого порядка.

Бесплатная задачаЛёгкая
ty1

Система «масса–пружина–демпфер» описывается уравнением y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Сравните его с y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 и найдите коэффициент демпфирования ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Дифференциальные уравненияЗанимайтесь сейчас: Дифференциальные уравненияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяэкспоненциальный рост и убывание
  2. СредняяЗакон охлаждения Ньютона
  3. Сложнаялинейные первого порядка

Основные формулы

Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Изучите тему «Дифференциальные уравнения» с нуля

Перед этим: Производные, Интегралы

1Что такое дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение связывает величину со скоростью её собственного изменения. Оно описывает, как что-то меняется, а не чему оно равно.

Бактерии делятся, поэтому большая колония растёт быстрее. Скорость роста пропорциональна числу клеток N:

dN/dt = k · N

Здесь dN/dt — производная N по времени t, а k — константа скорости. При k = 0,4 h⁻¹ и N = 1000 клеток колония в этот момент прирастает на 400 клеток в час.

Решить уравнение — значит найти саму функцию N(t). Вам также нужно начальное значение, например N(0) = 200. Это называется начальным условием.

Самопроверка Популяция подчиняется уравнению dN/dt = 0,2 · N. В данный момент N = 500. Как быстро она растёт?
  1. 0,2 в час
  2. 100 в час
  3. 2500 в час
  4. 500 в час

Ответ: 100 в час. Подставьте числа в уравнение: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Деление 500 на 0,2 даёт 2500, и это использует k наоборот.

2Экспоненциальный рост и распад

Уравнение dy/dt = k·y всегда имеет одно и то же решение — экспоненту:

y(t) = y0 · ekt

Здесь y0 — значение при t = 0. Положительное k означает рост. Для распада уравнение имеет вид dy/dt = −k·y, а решение — y = y0e−kt.

Радиоактивный распад часто задают через период полураспада t½: время, за которое остаётся половина вещества. Константа скорости следует из него:

k = ln 2 / t½

Чтобы найти время, возьмите натуральный логарифм обеих частей:

t = ln(y / y0) / k

Например, 200 клеток, растущих при k = 0,4 h⁻¹, достигают 1000 клеток через t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Самопроверка Период полураспада вещества равен 10 суткам. Вы начинаете с 80 mg. Сколько останется через 20 суток?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Ответ: 20 mg. 20 суток — это два периода полураспада: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg получается, если думать, что две половины составляют целое; количество каждый раз уменьшается вдвое.

3Охлаждение и линейные уравнения

Закон охлаждения Ньютона: горячий предмет охлаждается быстрее, когда он гораздо горячее комнаты. При температуре комнаты Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Разность T − Ta убывает экспоненциально, поэтому температура стремится к комнатной и никогда не опускается ниже неё.

Чтобы найти k по одному измерению, подставьте известные значения и возьмите ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид y′ + p(x)·y = q(x). Умножьте его на интегрирующий множитель μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Затем проинтегрируйте обе части и разделите на μ. Для p = 2/x получается μ = e2 ln x = x².

Самопроверка Чай при 90 °C оставили в комнате при 20 °C. К какой температуре он приближается через очень долгое время?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Ответ: 20 °C. Слагаемое (T0 − Ta)e−kt стремится к 0, поэтому T приближается к Ta = 20 °C. 0 °C был бы ответом, если забыть про комнатную температуру.

4Метод по шагам

  1. Определите тип: dy/dt = ky (рост или распад), охлаждение по Ньютону или y′ + p(x)y = q(x).
  2. Запишите стандартное решение для этого типа.
  3. По данным найдите константы: y0 из начального значения, k из периода полураспада или второго измерения.
  4. Ответьте на вопрос: подставьте время, чтобы найти значение, или используйте ln, чтобы найти время.
  5. Сверьте единицы k (h⁻¹, min⁻¹) с единицами t.

Для линейного уравнения: найдите μ, проинтегрируйте (μy)′ = μq, добавьте константу C, затем найдите C из начального условия.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Радиоактивный индикатор имеет период полураспада 8 суток. В начале образец содержит 60 mg. Распад подчиняется dm/dt = −k·m. Сколько m останется через 12 суток?

1

Определите тип

Это экспоненциальный распад, поэтому решение таково:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Найдите k по периоду полураспада

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 сут⁻¹
3

Подставьте время

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Проверьте ответ

12 суток — это 1,5 периода полураспада. Через 8 суток остаётся 30 mg, а через 16 суток — 15 mg, поэтому 21,2 mg лежит между ними, как и ожидалось.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Ответ

Через 12 суток остаётся m ≈ 21,2 mg.

6Типичные ошибки

  • В законе охлаждения Ньютона забыть вычесть и снова прибавить комнатную температуру Ta.
  • Использовать положительный показатель для распада, из-за чего количество растёт, а не уменьшается.
  • Использовать log10 вместо натурального логарифма ln.
  • Смешивать единицы времени, например k в min⁻¹ с t в часах.
  • При интегрирующем множителе умножать на μ только левую часть.
Самопроверка Деталь при 80 °C остывает в комнате при 20 °C. В некоторый момент t выполняется e−kt = 0,5. Какова её температура тогда?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Ответ: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Если просто вдвое уменьшить 80, получится 40 °C, а это не учитывает комнатную температуру.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: экспоненциальный рост и распад. Найдите количество через некоторое время или время достижения количества, часто по периоду полураспада.
  • Средняя: закон охлаждения Ньютона. Используйте одно измерение, чтобы найти k, затем найдите температуру или время.
  • Сложная: линейное уравнение первого порядка вроде y′ + 2y/x = 3 при y(1) = 1. Используйте интегрирующий множитель и найдите y при другом x.

Быстрая проверка: ответы для распада и охлаждения должны лежать между начальным и конечным значением (0 или комнатная температура).

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
rr² + br + c?

Для уравнения y″ + 4y′ + 3y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Найти: r

Показать подсказки
  1. Подставьте y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Разложите на множители или используйте формулу корней квадратного уравнения.
Показать ответ и пошаговое решение

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = ert: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·er₁t + B·er₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·ert (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Характеристическое уравнение

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Корни

r = −1, r = −3
ближайший к нулю: r = −1

Ответ

r = −1

Общее решение имеет вид y = A·e−1t + B·e−3t.

Пример 2Средняя
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Чашку кофе температурой 81 °C оставили в комнате при 21 °C. Через 5 min температура равна 73 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Найти: t (min)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите k по измерению при t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Константа охлаждения

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Время достижения целевой температуры

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Ответ

t = 25,4 min
Пример 3Сложная
ty1y(1) = ?

Решите y′ + y = 4e−2t при y(0) = 4. Найдите y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Найти: y(1)

Показать подсказки
  1. Интегрирующий множитель μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Найдите C из y(0).
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Интегрирующий множитель

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Общее решение

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Начальное условие

4 = −4 + C → C = 8

Вычислите

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Ответ

y(1) = 2,402

Вопросы и ответы

Дифференциальные уравнения: что это?

Бактерии делятся, поэтому большая колония растёт быстрее. Скорость роста пропорциональна числу клеток N:

Здесь dN/dt — производная N по времени t, а k — константа скорости. При k = 0,4 h⁻¹ и N = 1000 клеток колония в этот момент прирастает на 400 клеток в час.

Дифференциальные уравнения: как решать задачи шаг за шагом?

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = ert: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·er₁t + B·er₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·ert (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Дифференциальные уравнения: какие ошибки самые частые?
  • Это другой корень, более удалённый от нуля; его слагаемое затухает быстрее.
  • Уравнение r² + br + c = 0 при положительных b и c имеет отрицательные корни.
  • −b/2 — это середина между корнями, а не корень.
Дифференциальные уравнения: что вы тренируете?
  • Лёгкая: экспоненциальный рост и убывание
  • Средняя: Закон охлаждения Ньютона
  • Сложная: линейные первого порядка

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

ПроизводныеИнтегралы

Далее

Преобразования ЛапласаЧисленные методы

Калькуляторы

Калькулятор периода полураспада и экспоненциального распада

Курсы с этой темой

Высшая математикаДифференциальные уравненияИнженерная математика 2Математический анализ 2Численные методыЗадачи для подготовки к AP Calculus

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Дифференциальные уравненияЗанимайтесь сейчас: Дифференциальные уравненияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.