Математический анализ функций нескольких переменных: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Математический анализ функций нескольких переменных с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: частные производные и двойные интегралы, градиент, касательная плоскость и цепное правило, критические точки и интегралы по областям.

Бесплатная задачаЛёгкая
xy3−3P

Для f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy найдите частную производную ∂f/∂x в точке (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Математический анализ функций нескольких переменныхЗанимайтесь сейчас: Математический анализ функций нескольких переменныхБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаячастные производные и двойные интегралы
  2. Средняяградиент, касательная плоскость и цепное правило
  3. Сложнаякритические точки и интегралы по областям

Как решать задачи по теме «Математический анализ функций нескольких переменных»

  1. Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
  2. В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
  3. Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.

Типичные ошибки

  • Дифференцировать переменную, которую нужно считать постоянной.
  • Забывать нормировать вектор направления.
  • Записывать D = fxx·fyy + fxy² или называть точку с D < 0 экстремумом.
  • Использовать постоянные внутренние пределы для области, ограниченной кривыми.
  • Пропускать множитель r в dA = r dr dθ.

Основные формулы

Частные производные
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градиент
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Производная по направлению
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Цепное правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест по вторым производным
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярные координаты
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Изучите тему «Математический анализ функций нескольких переменных» с нуля

Перед этим: Производные, Интегралы

1Частные производные

Функция двух переменных, z = f(x, y), — это поверхность над плоскостью xy. На карте её рисуют линиями уровня — линиями, на которых f имеет одно и то же значение.

Частная производная измеряет наклон в одном направлении. Для ∂f/∂x (также записывается fx) считайте y постоянным и дифференцируйте по x по обычным правилам.

Пример: f(x, y) = x²y + 3y². Для fx считайте y числом, а для fy — x числом:

fx = 2xy fy = x² + 6y

В точке (1, 2) получаем fx = 4 и fy = 1 + 12 = 13.

Повторное дифференцирование даёт вторые частные производные fxx, fyy и fxy. Порядок смешанной производной не важен: fxy = fyx. Здесь fxy = 2x.

Самопроверка Чему равно ∂f/∂y для f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Ответ: 2x³y. Считаем x постоянным: x³ — постоянный множитель, а y² даёт 2y, поэтому fy = 2x³y. 3x²y² — это ∂f/∂x.

2Градиент и производная по направлению

Градиент собирает обе частные производные: ∇f = (fx, fy). Он указывает направление, в котором f растёт быстрее всего, под прямым углом к линии уровня.

xy∇fP

Сам наибольший наклон — это длина |∇f| = √(fx² + fy²).

Наклон в любом другом направлении v — это производная по направлению. Сначала сделайте v единичным вектором u = v/|v|, затем возьмите скалярное произведение:

Duf = ∇f·u

Для f = x²y + 3y² в точке (1, 2): ∇f = (4, 13). В направлении v = (3, 4) вектор u = (0,6, 0,8), поэтому Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Самопроверка В точке ∇f = (3, 4). Какова там наибольшая скорость возрастания f?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Ответ: 5. Она равна |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Сложение компонент даёт 7, а если забыть квадратный корень, получится 25.

3Касательная плоскость и цепное правило

Вблизи точки (a, b) поверхность почти плоская. Касательная плоскость задаётся уравнением

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Она даёт линейное приближение f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Пример: f = x²y + 3y² имеет f(1, 2) = 14, поэтому вблизи (1, 2): f(1,1, 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Точное значение равно 13,129.

Когда x и y оба зависят от t, цепное правило складывает два пути: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Критические точки

В точке максимума, минимума или седловой точке поверхность плоская: fx = 0 и fy = 0. Такие точки называются критическими точками.

Тест по вторым производным использует D = fxxfyy − fxy² в точке:

  • D > 0 и fxx > 0: локальный минимум.
  • D > 0 и fxx < 0: локальный максимум.
  • D < 0: седловая точка, вверх в одном направлении и вниз в другом.
  • D = 0: тест ничего не решает.
Разобранный пример

Найдите и классифицируйте критические точки функции f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Приравняйте обе частные производные к нулю

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Критические точки: (1, 2) и (−1, 2).

2

Вторые производные

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Проверка (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 и fxx = 6 > 0: локальный минимум, f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Проверка (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: седловая точка.

Ответ

Локальный минимум в (1, 2) со значением f = −6; седловая точка в (−1, 2).

5Двойные интегралы

Двойной интеграл ∬R f dA суммирует f по области R; для f = 1 это площадь R. Вычисляйте его как два однократных интеграла, сначала внутренний.

По прямоугольнику пределы — числа: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Внутренний интеграл даёт x + 1, а ∫02 (x + 1) dx = 4.

По произвольной области пределы внутреннего интеграла — кривые, ограничивающие её. Для области между y = x² и y = 2x переменная y идёт от x² до 2x, а x — от 0 до 2.

xyy = 2xy = x²2
Площадь = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Для кругов и секторов используйте полярные координаты: x² + y² = r² и dA = r dr dθ. По кругу r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Самопроверка Чем становится dA в полярных координатах?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Ответ: r dr dθ. Малый полярный элемент имеет ширину Δr и длину r·Δθ, поэтому dA = r dr dθ. Забытый множитель r — самая частая ошибка.

6Типичные ошибки и экзаменационные вопросы

  • Дифференцировать при частной производной также и «постоянную» переменную.
  • Использовать v вместо единичного вектора u в производной по направлению.
  • Записывать D = fxxfyy + fxy² или классифицировать точку с D < 0 как экстремум.
  • Использовать числа в качестве внутренних пределов, когда область ограничена кривыми.
  • Забывать множитель r в полярных координатах.

Лёгкий: частные производные в точке и интегралы по прямоугольникам. Средний: градиент, производная по направлению, касательная плоскость и цепное правило. Сложный: классификация критических точек и интегралы по криволинейным областям в полярных координатах или с изменённым порядком интегрирования.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xy−1−3P

Для f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy найдите частную производную ∂f/∂x в точке (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Найти: fx(−1, −3)

Показать подсказки
  1. Считайте y постоянным числом и дифференцируйте по x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Подставьте x = −1 и y = −3.
Показать ответ и пошаговое решение

Частные производные: ∂f/∂x — это обычная производная по x при постоянном y (считайте y числом), а ∂f/∂y — наоборот. Правила (степень, произведение, цепное правило) те же, что и для одной переменной. Смешанные вторые производные дают один и тот же результат в любом порядке: fxy = fyx. Двойной интеграл по прямоугольнику вычисляется как два однократных интеграла, сначала внутренний: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Дифференцирование

y считается постоянным.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Подставьте

fx(−1, −3) = −4

Ответ

fx(−1, −3) = −4
Пример 2Средняя

z = 2x²e3y, где x = −t − 2 и y = t² + 2. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Найти: dz/dt

Показать подсказки
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. При t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Показать ответ и пошаговое решение

Градиент: ∇f = (fx, fy) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна Duf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Точка и скорости

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Частные производные

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Цепное правило

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Ответ

dz/dt = 3227
Пример 3Сложная
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Функция f(x, y) = x³ + y³ − 3xy имеет критическую точку (1, 1). Вычислите там дискриминант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Найти: D

Показать подсказки
  1. Найдите три вторые производные fxx, fyy и fxy.
  2. В этой точке: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Показать ответ и пошаговое решение

Критические точки и двойные интегралы: в критической точке fx = fy = 0. Тест по вторым производным с D = fxxfyy − fxy²: D > 0 и fxx > 0 — локальный минимум, D > 0 и fxx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).

Вторые производные

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Дискриминант

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ локальный минимум

Ответ

D = 27

Вопросы и ответы

Математический анализ функций нескольких переменных: что это?

Функция двух переменных, z = f(x, y), — это поверхность над плоскостью xy. На карте её рисуют линиями уровня — линиями, на которых f имеет одно и то же значение.

Пример: f(x, y) = x²y + 3y². Для fx считайте y числом, а для fy — x числом:

Математический анализ функций нескольких переменных: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
  2. В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
  3. Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.
Математический анализ функций нескольких переменных: какие ошибки самые частые?
  • Дифференцировать переменную, которую нужно считать постоянной.
  • Забывать нормировать вектор направления.
  • Записывать D = fxx·fyy + fxy² или называть точку с D < 0 экстремумом.
  • Использовать постоянные внутренние пределы для области, ограниченной кривыми.
  • Пропускать множитель r в dA = r dr dθ.
Математический анализ функций нескольких переменных: что вы тренируете?
  • Лёгкая: частные производные и двойные интегралы
  • Средняя: градиент, касательная плоскость и цепное правило
  • Сложная: критические точки и интегралы по областям

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

ПроизводныеИнтегралы

Курсы с этой темой

Инженерная математика 2Математический анализ 2

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Математический анализ функций нескольких переменных: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Математический анализ функций нескольких переменныхЗанимайтесь сейчас: Математический анализ функций нескольких переменныхБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.