Доверительные интервалы: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: доверительный интервал · интервальная оценка

Бесплатные задачи по теме Доверительные интервалы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: z-интервал, t-интервал, объём выборки.

Бесплатная задачаЛёгкая
LU = ?p̂ = 55/100E90%

В опросе 100 случайно выбранных избирателей 55 поддерживают предложение. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для доли сторонников.

n = 100x = 5590%
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Доверительные интервалыЗанимайтесь сейчас: Доверительные интервалыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяz-интервал
  2. Средняяt-интервал
  3. Сложнаяобъём выборки

Как решать задачи по теме «Доверительные интервалы»

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Типичные ошибки

  • Забывают разделить на √n.
  • Используют z, когда выборка мала и σ неизвестна.
  • Округляют объём выборки вниз, а не вверх.

Основные формулы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Изучите тему «Доверительные интервалы» с нуля

Перед этим: Нормальное распределение

1Что такое доверительный интервал

Вы хотите узнать среднее μ всей генеральной совокупности, например средний срок службы всех батареек, которые выпускает завод. Проверить их все нельзя, поэтому вы проверяете выборку из n батареек.

Выборочное среднее x̄ — ваша лучшая оценка μ, но другая выборка дала бы немного другое x̄. Одно число скрывает эту неопределённость.

Доверительный интервал даёт диапазон: от x̄ минус погрешность до x̄ плюс погрешность.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

95%-й доверительный интервал строится методом, который охватывает истинное μ в 95% всех выборок. Более высокий уровень доверия даёт более широкий интервал.

Самопроверка Вы вычисляете 90%-й и 99%-й доверительные интервалы по одной выборке. Какой из них шире?
  1. 90%-й интервал
  2. 99%-й интервал
  3. Они одинаково широки
  4. Это зависит от выборочного среднего

Ответ: 99%-й интервал. Чтобы быть увереннее, что интервал содержит μ, он должен быть шире. Критическое значение 2,576 для 99% больше значения 1,645 для 90%.

2z-интервал

Когда стандартное отклонение генеральной совокупности σ известно, интервал имеет вид:

x̄ ± z · σ / √n

Величина σ/√n — это стандартная ошибка: насколько x̄ меняется от выборки к выборке. Чем больше выборка, тем меньше стандартная ошибка.

Критическое значение z зависит от уровня доверия. Запомните эти три:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Предельная погрешность равна E = z · σ/√n. Интервал идёт от x̄ − E (нижняя граница) до x̄ + E (верхняя граница).

Самопроверка Выборка из 64 элементов имеет среднее 55. Стандартное отклонение генеральной совокупности σ равно 12. Какова верхняя граница 95%-го доверительного интервала?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Ответ: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, поэтому верхняя граница равна 57,94. Если забыть √n, получится 78,52, а 57,47 использует значение 1,645 для 90%.

3t-интервал и объём выборки

Обычно σ неизвестно. Тогда используют выборочное стандартное отклонение s, а критическое значение берут из t-распределения:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Число степеней свободы df равно n − 1. Значение t больше z, поэтому интервал шире: он учитывает дополнительную неопределённость s. При большом n значение t близко к z.

При 95%: t = 2,262 при df = 9, t = 2,131 при df = 15 и t = 2,045 при df = 29.

Иногда нужно спланировать объём выборки: насколько велико должно быть n, чтобы предельная погрешность не превышала E? Решите E = zσ/√n относительно n:

n = (z · σ / E)²

Всегда округляйте вверх до следующего целого числа. Округление вниз дало бы погрешность чуть больше E.

Самопроверка σ = 13. Каким должен быть объём выборки для 95%-го интервала с предельной погрешностью не более 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Ответ: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, округляем вверх до 163. Округление вниз до 162 даёт погрешность чуть выше 2, а 13 получается, если забыть возвести в квадрат.

4Метод по шагам

  1. Запишите n, x̄ и σ или s.
  2. Выберите z (σ известно) или t при df = n − 1 (известно только s).
  3. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  4. Вычислите стандартную ошибку: σ/√n или s/√n.
  5. Предельная погрешность: E = критическое значение × стандартная ошибка.
  6. Интервал: от x̄ − E до x̄ + E. Назовите ту границу, которую спрашивают.

Для вопроса об объёме выборки: n = (zσ/E)², округляется вверх.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Выборка из 16 элементов имеет среднее 40 и стандартное отклонение s = 6. Генеральная совокупность примерно нормальна. Найдите 95%-й доверительный интервал для среднего.

1

z или t?

Известно только выборочное стандартное отклонение s, а не σ. Поэтому используйте t при df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Стандартная ошибка

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Предельная ошибка

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Интервал

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Проверьте ответ

При z = 1,96 погрешность составила бы 2,94. Интервал по t чуть шире, как и должно быть, когда σ неизвестно.

Ответ

95%-й доверительный интервал равен [36,80, 43,20].

6Типичные ошибки

  • Забывают разделить на √n.
  • Используют z, когда выборка мала и σ неизвестна.
  • Использовать df = n вместо df = n − 1 для t.
  • Использовать значение 1,645 для 90% при 95%-м интервале.
  • Округляют объём выборки вниз, а не вверх.
Самопроверка Выборка из n = 10 элементов имеет стандартное отклонение s = 5. σ неизвестно. Какое критическое значение вы используете для 95%-го интервала?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Ответ: t = 2,262 (df = 9). σ неизвестно, поэтому используйте t при df = n − 1 = 9. Использование z игнорирует неопределённость s, а df = 10 забывает вычесть единицу.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: z-интервал. σ известно; найдите нижнюю или верхнюю границу.
  • Средняя: t-интервал. Дано только s; значение t при n − 1 степенях свободы дано или берётся из таблицы.
  • Сложная: объём выборки. Найдите наименьшее n для заданной предельной погрешности и округлите вверх.

Быстрая проверка: выборочное среднее всегда лежит точно в середине интервала.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Выборка из 200 измерений имеет среднее 174,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 30. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Найти: верхняя граница

Показать подсказки
  1. σ известно, поэтому используйте критическое значение z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Показать ответ и пошаговое решение

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Предельная ошибка

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Интервал

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Ответ

верхняя граница = 178
Пример 2Средняя
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 7,8. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 100 наблюдений?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Найти: E₂

Показать подсказки
  1. E = z·σ/√n, а σ остаётся прежним.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Показать ответ и пошаговое решение

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Ответ

E₂ = 5,515
Пример 3Сложная
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Найти: σ (µm)

Показать подсказки
  1. Для нормальной генеральной совокупности (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы.
  2. Интервал для σ²: от (n − 1)s²/34,17 до (n − 1)s²/9,591. Извлеките квадратные корни, чтобы получить σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Показать ответ и пошаговое решение

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Границы для σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Граница для σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Ответ

σ = 1,733 µm

95 % интервал для σ: [0,9181, 1,733] µm.

Вопросы и ответы

Доверительные интервалы: что это?

Вы хотите узнать среднее μ всей генеральной совокупности, например средний срок службы всех батареек, которые выпускает завод. Проверить их все нельзя, поэтому вы проверяете выборку из n батареек.

Выборочное среднее x̄ — ваша лучшая оценка μ, но другая выборка дала бы немного другое x̄. Одно число скрывает эту неопределённость.

Доверительные интервалы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.
Доверительные интервалы: какие ошибки самые частые?
  • Забывают разделить на √n.
  • Используют z, когда выборка мала и σ неизвестна.
  • Округляют объём выборки вниз, а не вверх.
Доверительные интервалы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: z-интервал
  • Средняя: t-интервал
  • Сложная: объём выборки

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Нормальное распределение

Далее

Проверка гипотез и доверительные интервалы

Калькуляторы

Калькулятор доверительного интервалаКалькулятор объёма выборки

Курсы с этой темой

Методы исследования и статистика в психологииОсновы статистикиСтатистика 2: Статистический выводДоказательная практикаЗадачи для подготовки к AP StatisticsCFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Доверительные интервалы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Доверительные интервалыЗанимайтесь сейчас: Доверительные интервалыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.