Пределы: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: вычисление пределов · правило Лопиталя · замечательные пределы

Бесплатные задачи по теме Пределы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: прямая подстановка и разложение на множители, пределы на бесконечности, Правило Лопиталя.

Бесплатная задачаЛёгкая
xy9x = 9

Найдите предел L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: ПределыЗанимайтесь сейчас: ПределыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяпрямая подстановка и разложение на множители
  2. Средняяпределы на бесконечности
  3. СложнаяПравило Лопиталя

Основные формулы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Изучите тему «Пределы» с нуля

1Что такое предел

Предел описывает значение, к которому функция приближается, когда x приближается к некоторому числу. Неважно, что происходит именно в этом числе.

Возьмите f(x) = (x² − 1)/(x − 1). При x = 1 получается 0/0, у которого нет значения. Но можно попробовать числа, близкие к 1.

  • x = 0,9 даёт f = 1,9.
  • x = 0,99 даёт f = 1,99.
  • x = 1,01 даёт f = 2,01.

Значения всё ближе и ближе к 2. Записываем:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

График — прямая линия с одной недостающей точкой, «дыркой» в (1, 2). Предел — это высота дырки.

Самопроверка Функция g даёт g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 и g(3,01) = 6,01. При x = 3 она не определена. Чему равен предел при x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Он не существует, потому что g(3) не определена

Ответ: 6. Значения приближаются к 6 с обеих сторон, поэтому предел равен 6. Предел смотрит только на значения вблизи x = 3, но никогда не на сам x = 3.

2Подстановка, 0/0 и разложение на множители

Всегда сначала пробуйте прямую подстановку: подставьте число. Если получилось обычное число, это и есть предел.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Если получилось 0/0, вы ещё не закончили. 0/0 называется неопределённостью: это сигнал упростить выражение, а не ответ.

Обычно числитель и знаменатель имеют общий множитель, равный нулю в этой точке. Разложите оба на множители, сократите общий множитель, затем снова подставьте.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Значит, предел при x → 3 равен 3 + 3 = 6. Полезные шаблоны разложения:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Квадратный трёхчлен вроде x² − x − 30 раскладывается как (x − 6)(x + 5): найдите два числа, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

Если есть квадратный корень, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Самопроверка Чему равен limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Он не существует, потому что получается 0/0

Ответ: 4. Подстановка даёт 0/0, поэтому разложите на множители: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, что равно 4 при x = 2. Остановка на 0/0 — ошибка, из-за которой выбирают «не существует».

3Пределы на бесконечности и правило Лопиталя

x → ∞ означает, что x растёт без конца. Для дроби из многочленов при огромном x важны только старшие степени.

Разделите каждое слагаемое на старшую степень x в знаменателе. Слагаемые вроде 4/x и 7/x² стремятся к 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Одинаковая старшая степень в числителе и знаменателе: предел равен отношению старших коэффициентов.
  • Более высокая степень в знаменателе: предел равен 0.
  • Более высокая степень в числителе: дробь растёт без конца, поэтому конечного предела нет.

Для √(x² + 6x) − x умножьте на сопряжённое выражение. Получится 6x/(√(x² + 6x) + x), что стремится к 6/(1 + 1) = 3.

Правило Лопиталя: если подстановка даёт 0/0 или ∞/∞, можно заменить числитель и знаменатель их производными, каждый по отдельности.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Если снова получилось 0/0, примените правило ещё раз. В тригонометрических пределах x всегда выражается в радианах.

Самопроверка Чему равен limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Ответ: 2. Старшие степени равны (x²), поэтому предел равен отношению старших коэффициентов: 4/2 = 2. ½ получается делением в обратном порядке.

4Метод по шагам

  1. Подставьте число. Обычное число — это ответ.
  2. Если получилось 0/0, разложите числитель и знаменатель на множители или умножьте на сопряжённое выражение, если есть корень.
  3. Сократите общий множитель и снова подставьте.
  4. Если x → ∞, разделите каждое слагаемое на старшую степень x и пусть слагаемые вида a/x стремятся к 0.
  5. Если разложение на множители не работает (eˣ, sin, cos, ln), примените правило Лопиталя к форме 0/0 или ∞/∞.
  6. Проверьте на числе, очень близком к точке, например x = 1,001.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Найдите L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Попробуйте подстановку

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Это неопределённость 0/0, поэтому сначала нужно упростить.

2

Разложите числитель

8 = 2³, поэтому числитель — сумма кубов при a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Сократите общий множитель

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Это допустимо, потому что x лишь приближается к −2, значит, x + 2 никогда не равно в точности 0.

4

Подставьте снова

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Проверьте ответ

Попробуйте x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, что близко к 12.

xy−212

График — парабола x² − 2x + 4 с дыркой в (−2, 12).

Ответ

L = 12

6Типичные ошибки

  • Записывать 0/0 как ответ или говорить, что предел не существует. 0/0 означает: сначала упростите.
  • Применять правило Лопиталя, когда подстановка не даёт 0/0 или ∞/∞.
  • Применять правило частного внутри правила Лопиталя. Дифференцируйте числитель и знаменатель по отдельности.
  • На бесконечности сравнивать первые записанные слагаемые вместо старших степеней.
  • Использовать градусы вместо радианов в пределах с sin или cos.
Самопроверка Чему равен limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Он не существует

Ответ: 1. Подстановка даёт 2/2 = 1, обычное число, поэтому это и есть предел. Применение правила Лопиталя здесь (2x/1 = 2) неверно, потому что форма не была 0/0.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: прямая подстановка и разложение на множители. Подстановка даёт 0/0, затем вы раскладываете и сокращаете, как в примере.
  • Средняя: пределы на бесконечности. Разделите на старшую степень или используйте сопряжённое выражение для корня вроде √(x² + 4x) − x.
  • Сложная: правило Лопиталя, например (eˣ − 1 − x)/x² или (1 − cos 3x)/x² при x → 0. Правило может понадобиться дважды.

Быстрая проверка: подставьте в калькулятор число, очень близкое к точке. Результат должен быть близок к вашему ответу.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xyx = 1

Найдите предел L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Найти: L

Показать подсказки
  1. Подстановка даёт 0/0. Разложите числитель на множители.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Показать ответ и пошаговое решение

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Попробуйте прямую подстановку

числитель → 0 и знаменатель → 0, поэтому неопределённость вида 0/0.

Разложение на множители и сокращение

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Подставьте

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Ответ

L = 4

Это производная xⁿ при x = a: n·aⁿ⁻¹.

Пример 2Средняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Найти: L

Показать подсказки
  1. Неопределённость вида 1^∞. Запишите L = e^(ln L) и найдите ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. При малых u ln(1 + u) ≈ u. Здесь u = 1/x.
Показать ответ и пошаговое решение

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Избавьтесь от логарифма

L = e1 = 2,718

Ответ

L = 2,718
Пример 3Сложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Найти: L

Показать подсказки
  1. При x = 0: ln 1 = 0 и sin 0 = 0, поэтому неопределённость вида 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Подставьте x = 0 в f′/g′.
Показать ответ и пошаговое решение

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Ответ

L = 0,6667

Вопросы и ответы

Пределы: что это?

Предел описывает значение, к которому функция приближается, когда x приближается к некоторому числу. Неважно, что происходит именно в этом числе.

Возьмите f(x) = (x² − 1)/(x − 1). При x = 1 получается 0/0, у которого нет значения. Но можно попробовать числа, близкие к 1.

Пределы: как решать задачи шаг за шагом?

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Пределы: какие ошибки самые частые?
  • Сохраните все слагаемые второго множителя: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), и при x = a все n слагаемых равны.
  • Вид 1^∞ — это неопределённость, а не 1. Сначала возьмите натуральный логарифм.
  • Производная числителя остаётся в числителе: lim f/g = lim f′/g′.
Пределы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: прямая подстановка и разложение на множители
  • Средняя: пределы на бесконечности
  • Сложная: Правило Лопиталя

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

ПроизводныеПоследовательности и ряды

Курсы с этой темой

Математический анализ 1Высшая математикаЗадачи для подготовки к AP Calculus

Другие темы: Математика и статистика

ПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Пределы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: ПределыЗанимайтесь сейчас: ПределыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.