Бесплатные задачи по теме Комплексные числа с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: арифметика в алгебраической форме, полярная и показательная формы, формула Муавра, корни и уравнения.
Бесплатная задачаЛёгкая
Для z₁ = 1 + j4 и z₂ = 5 + j6 найдите мнимую часть w = 2z₁ + 5z̄₂.
Уравнение x² = −1 не имеет действительных решений. Инженеры вводят новое число j, для которого j² = −1. Математики пишут i; в технике используют j, потому что i уже означает ток.
Комплексное число имеет вид z = a + jb. Число a — это действительная часть, а b — мнимая часть: Re(z) = a и Im(z) = b.
Число z можно изобразить точкой (a, b) на комплексной плоскости (диаграмме Арганда): действительная часть откладывается по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной.
Расстояние до начала координат — это модуль |z| = √(a² + b²). Угол от положительной действительной оси — это аргумент θ. Зеркальное отражение относительно действительной оси, z̄ = a − jb, — это сопряжённое число.
Самопроверка Чему равен модуль z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Ответ: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Сложение 3 и 4 даёт 7, а если забыть квадратный корень, получится 25.
2Сложение, умножение и деление
Складывайте и вычитайте по частям: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Ответ: 2. Это число, умноженное на своё сопряжённое: 1² + 1² = 2. Если записать 1 − j² как 1 − 1 = 0, забывается, что j² = −1, поэтому −j² = +1.
3Полярная и показательная форма
Точку можно задать и расстоянием и углом: z = r∠θ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ и b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
В последней форме используется формула Эйлера ejθ = cos θ + j sin θ. В показательной форме θ должно быть в радианах.
Следите за четвертью. Калькулятор даёт atan(b/a) между −90° и 90°. Если a < 0, точка слева, поэтому прибавьте или вычтите 180°.
Пример: z = −2 + j2. Тогда r = √8 = 2,828. Опорный угол равен atan(2/2) = 45°, а точка находится во второй четверти, поэтому θ = 180° − 45° = 135°.
Самопроверка Чему равен аргумент z = −1 − j между −180° и 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Ответ: −135°. Точка лежит в третьей четверти. Опорный угол равен 45°, поэтому θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° указывает на противоположную четверть.
4Умножение в полярной форме, степени и корни
В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы. При делении разделите модули и вычтите аргументы.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Повторяя это, получаем формулу Муавра: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней. Все они имеют модуль R1/n и аргументы (φ + 360°·k)/n при k = 0, 1, …, n − 1.
Для z³ = 8 = 8∠0°: модуль равен 2, а аргументы равны 0°, 120° и 240° (то есть −120°). Корни образуют правильный треугольник на окружности.
Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни −p/2 ± j√(q − p²/4). Многочлены с действительными коэффициентами всегда имеют комплексные корни парами сопряжённых.
5Разобранный пример
Степени таких чисел, как 1 + j, намного быстрее вычисляются в полярной форме, чем раскрытием скобок.
Разобранный пример
Вычислите (1 + j)6 по формуле Муавра.
1
Запишите 1 + j в полярной форме
r = √(1² + 1²) = √2. Точка находится в первой четверти, поэтому θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Примените формулу Муавра
Возведите модуль в степень 6 и умножьте угол на 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Приведите угол в диапазон
270° — это то же направление, что и −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Обратно к алгебраической форме
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Ответ
(1 + j)6 = −j8: действительная часть 0, мнимая часть −8.
6Типичные ошибки и экзаменационные вопросы
Забывать, что j² = −1, при раскрытии скобок, из-за чего у члена оказывается неверный знак.
Делить по частям: (a + jb)/(c + jd) — это не a/c + jb/d. Используйте сопряжённое число.
Брать atan(b/a) в качестве аргумента при a < 0. Сначала нарисуйте точку.
Использовать градусы в ejθ или оставлять калькулятор в радианах для r∠θ, заданного в градусах.
В формуле Муавра: забывать возводить модуль в степень или указывать только один корень уравнения zⁿ = w.
Лёгкие вопросы требуют найти часть произведения, частного или суммы. Средние переводят между алгебраической, полярной и показательной формами. Сложные используют формулу Муавра, корни n-й степени и многочленные уравнения.
Самопроверка z₁ = 2∠30° и z₂ = 4∠50°. Чему равно z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Ответ: 8∠80°. Перемножьте модули (2·4 = 8) и сложите аргументы (30° + 50° = 80°). Сложение модулей даёт 6, а умножение углов не имеет смысла.
Для z₁ = −7 + j и z₂ = 4 + j2 найдите действительную часть произведения z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Найти: Re(z₁z₂)
Показать подсказки
Раскройте скобки как в (a + b)(c + d), получится четыре члена.
Замените j² на −1, чтобы один из четырёх членов стал действительным.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Показать ответ и пошаговое решение
Комплексные числа: z = a + jb имеет действительную часть a и мнимую часть b, где j² = −1 (математики пишут i). Складывайте и вычитайте по частям; раскройте скобки и замените j² на −1; для деления умножьте числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, z̄ = a − jb, потому что z·z̄ = a² + b² действительно. На комплексной плоскости (диаграмме Арганда) z — это точка (a, b): её расстояние до начала координат — модуль |z| = √(a² + b²), а угол от положительной действительной оси — аргумент θ.
Запишите z = 4∠160° в алгебраической форме a + jb и укажите мнимую часть b.
r = 4θ = 160°
Найти: b
Показать подсказки
a = r·cos θ и b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Умножьте на r = 4.
Показать ответ и пошаговое решение
Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.
Составляющие
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Алгебраическая форма
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Ответ
b = 1,368
Пример 3Сложная
Корни уравнения zⁿ = w при n = 4 и w = 16∠−60° равны zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Найдите действительную часть z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Найти: Re(z₂)
Показать подсказки
Каждый корень имеет модуль R1/n = 161/4 = 2.
Аргумент z₂ равен (φ + 360°·k)/n при φ = −60°, k = 2 и n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Показать ответ и пошаговое решение
Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.
Модуль корней
161/4 = 2
Аргумент корня
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Алгебраическая форма
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Ответ
Re(z₂) = −1,932
4 корней лежат на окружности радиуса 2 с угловым шагом 90°.
Вопросы и ответы
Комплексные числа: что это?
Уравнение x² = −1 не имеет действительных решений. Инженеры вводят новое число j, для которого j² = −1. Математики пишут i; в технике используют j, потому что i уже означает ток.
Число z можно изобразить точкой (a, b) на комплексной плоскости (диаграмме Арганда): действительная часть откладывается по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной.
Комплексные числа: как решать задачи шаг за шагом?
Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Комплексные числа: какие ошибки самые частые?
Считать j² равным +1 при раскрытии скобок.
Делить действительную и мнимую части по отдельности.
Брать atan(b/a) в качестве аргумента для точки в левой полуплоскости.
Путать градусы и радианы, особенно в ejθ.
Указывать только один корень уравнения zⁿ = w или забывать извлекать корень n-й степени из модуля.
Комплексные числа: что вы тренируете?
Лёгкая: арифметика в алгебраической форме
Средняя: полярная и показательная формы
Сложная: формула Муавра, корни и уравнения
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.