Бесплатные задачи по теме Численные методы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: корни и интерполяция, методы трапеций и Симпсона, методы Эйлера, Хойна и Рунге–Кутты.
Бесплатная задачаЛёгкая
Примените метод Ньютона к f(x) = e−x − x с начальным значением x₀ = 0. Найдите x2.
Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Типичные ошибки
Сохранять не ту половину интервала бисекции или неверно считать шаги.
Писать x − f′/f вместо x − f/f′ в методе Ньютона–Рафсона.
Давать внутренним узлам вес 1 в методе трапеций или применять метод Симпсона при нечётном числе полос.
Слишком рано округлять итерации.
Сделать на один шаг Эйлера меньше или больше, чем нужно, чтобы дойти до конечного момента времени.
Основные формулы
Бисекция
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Для многих уравнений и интегралов нет формулы ответа: x = cos x, ∫e−x²dx или большинство дифференциальных уравнений. Численные методы вычисляют ответ шаг за шагом с любой нужной вам точностью.
Метод бисекции находит корень уравнения f(x) = 0 на интервале [a, b], где f меняет знак. Возьмите середину c = (a + b)/2 и сохраните ту половину, где знак по-прежнему меняется.
Пример: f(x) = x² − 2 на [1, 2]. c₁ = 1,5 даёт f = 0,25 > 0, поэтому сохраняем [1, 1,5]. c₂ = 1,25 даёт f = −0,4375 < 0, поэтому сохраняем [1,25, 1,5]. Затем c₃ = 1,375.
Каждый шаг делит интервал пополам, поэтому после n шагов его ширина равна (b − a)/2ⁿ. Бисекция медленная, но всегда работает, если есть смена знака.
Самопроверка Бисекция начинается на интервале длиной 1. Какова ширина интервала после 10 шагов?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Ответ: 1/1024. Каждый шаг делит его пополам: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Деление на 10 или на 20 трактует уменьшение вдвое как аддитивное действие.
2Метод Ньютона–Рафсона
Метод Ньютона–Рафсона идёт по касательной вниз до оси x и использует эту точку пересечения как следующее приближение:
Вблизи корня метод Ньютона примерно удваивает число верных цифр на каждом шаге. Он может не сработать, если f′(xₙ) близко к 0 или если начальное приближение далеко от корня.
Сохраняйте не менее шести цифр в каждой итерации; раннее округление мешает методу улучшать результат.
Самопроверка Один шаг метода Ньютона для f(x) = x² − 5 из x₀ = 2 даёт…
1,75
2,25
2,2
2,5
Ответ: 2,25. f(2) = −1 и f′(2) = 4, поэтому x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Если прибавить −1/4 вместо вычитания, получится 1,75.
3Линейная интерполяция
В таблицах значения даны только в некоторых точках. Линейная интерполяция проводит прямую между двумя соседними табличными точками:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Пример: в таблице f(1) = 2,0 и f(2) = 2,6. При x = 1,4 доля равна 0,4, поэтому f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Обратная интерполяция работает так же, только наоборот: чтобы найти, где y = 2,3, доля равна (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, поэтому x ≈ 1,5.
4Метод трапеций и метод Симпсона
Чтобы проинтегрировать f от a до b, разделите интервал на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀, x₁, …, xₙ.
Метод трапеций заменяет кривую в каждой полосе отрезком прямой. Каждый внутренний узел принадлежит двум полосам, поэтому он учитывается дважды:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Метод Симпсона проводит параболы через три узла за раз. Для него нужно чётное n:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Для ∫01 x² dx = 1/3 при n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, тогда как S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, точно.
Погрешность метода трапеций убывает как h², а метода Симпсона — как h⁴: уменьшение h вдвое делает метод Симпсона примерно в 16 раз точнее.
Самопроверка Какие веса метод трапеций даёт узлам x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Ответ: 1, 2, 2, 1. Два крайних узла принадлежат одной полосе, а внутренние — двум, поэтому 1, 2, 2, 1 с множителем h/2. Четвёрки относятся к методу Симпсона.
5Методы Эйлера и Хойна для дифференциальных уравнений
Для y′ = f(t, y) с y(t₀) = y₀ двигайтесь вперёд по времени с шагом h. Метод Эйлера использует наклон в начале каждого шага:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) делает предсказание по Эйлеру, затем усредняет наклоны на обоих концах: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h². Классический метод Рунге–Кутты (RK4) использует четыре наклона и точен до h⁴.
Разобранный пример
Решите y′ = y, y(0) = 1 методом Эйлера с h = 0,1 до t = 0,3 и сравните с точным решением eᵗ.
1
Шаг 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Шаг 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Шаг 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Сравните
Точное значение равно e0,3 = 1,349859, поэтому глобальная погрешность равна 0,0189. Один шаг метода Хойна из y₀ дал бы 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 против e0,1 = 1,105171.
Ответ
y(0,3) ≈ 1,331 по методу Эйлера; погрешность 0,019 уменьшается примерно пропорционально h.
6Типичные ошибки и экзаменационные вопросы
Считать первую середину бисекции шагом 0 или сохранять не ту половину интервала.
Писать x − f′/f вместо x − f/f′ в методе Ньютона.
Забывать множитель 2 для внутренних узлов или использовать h вместо h/2 в методе трапеций.
Применять метод Симпсона при нечётном числе полос.
В методе Эйлера использовать наклон в конце шага или сделать на один шаг меньше.
Лёгкий: бисекция, итерации Ньютона и интерполяция по таблице. Средний: методы трапеций и Симпсона, их погрешность и необходимое число полос. Сложный: шаги методов Эйлера, Хойна и Рунге–Кутты для дифференциальных уравнений.
Самопроверка y′ = 2y при y(0) = 1. Что даёт один шаг метода Эйлера с h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Ответ: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Если забыть множитель 2 в наклоне, получится 1,2; 1,49 — это точное значение e0,4.
Метод бисекции начинает с интервала длиной 4. Каждый шаг делит интервал пополам. Сколько шагов n нужно как минимум, прежде чем интервал станет короче 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Найти: n
Показать подсказки
После n шагов длина интервала равна (b − a)/2ⁿ.
Решите 4/2ⁿ < 0,0001, то есть 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Показать ответ и пошаговое решение
Поиск корней и интерполяция: метод бисекции сохраняет интервал [a, b], на котором f меняет знак; на каждом шаге берётся середина c = (a + b)/2 и сохраняется та половина, где знак по-прежнему меняется, так что после n шагов ширина интервала равна (b − a)/2ⁿ. Метод Ньютона (Ньютона–Рафсона) идёт по касательной к оси: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); вблизи простого корня он примерно удваивает число верных цифр на каждом шаге. Линейная интерполяция между двумя табличными точками: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Условие
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Логарифм
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Проверка
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Ответ
n = 16
Пример 2Средняя
Приблизьте ∫01,5 √(1 + x³) dx методом трапеций с n = 3 полосами. Укажите T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Найти: T
Показать подсказки
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; узлы: 0, 0,5, 1, 1,5.
Веса: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Взвешенная сумма равна Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Показать ответ и пошаговое решение
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Для многих уравнений и интегралов нет формулы ответа: x = cos x, ∫e−x²dx или большинство дифференциальных уравнений. Численные методы вычисляют ответ шаг за шагом с любой нужной вам точностью.
Пример: f(x) = x² − 2 на [1, 2]. c₁ = 1,5 даёт f = 0,25 > 0, поэтому сохраняем [1, 1,5]. c₂ = 1,25 даёт f = −0,4375 < 0, поэтому сохраняем [1,25, 1,5]. Затем c₃ = 1,375.
Численные методы: как решать задачи шаг за шагом?
Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Численные методы: какие ошибки самые частые?
Сохранять не ту половину интервала бисекции или неверно считать шаги.
Писать x − f′/f вместо x − f/f′ в методе Ньютона–Рафсона.
Давать внутренним узлам вес 1 в методе трапеций или применять метод Симпсона при нечётном числе полос.
Слишком рано округлять итерации.
Сделать на один шаг Эйлера меньше или больше, чем нужно, чтобы дойти до конечного момента времени.
Численные методы: что вы тренируете?
Лёгкая: корни и интерполяция
Средняя: методы трапеций и Симпсона
Сложная: методы Эйлера, Хойна и Рунге–Кутты
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.