Бесплатные задачи по теме Оптимизация с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: наибольшая площадь или объём, наименьшая стоимость или расход материала, прибыль и выручка.
Бесплатная задачаЛёгкая
У фермера есть 240 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите наибольшую площадь A, которую можно огородить.
Оптимизация означает поиск наилучшего значения: наибольшей площади при заданной длине ограды, наименьшего количества металла для банки или наибольшей прибыли.
Величина, которую вы хотите сделать как можно больше или меньше, зависит от одной переменной, например от ширины x поля.
Представьте её график. На вершине холма и на дне долины график на мгновение становится плоским. Значит, наклон там равен нулю.
В этом ключевая идея: в максимуме или минимуме производная равна 0. Наилучшее x находят, решая Q′(x) = 0.
Самопроверка Площадь A(x) поля достигает наибольшего значения при x = 12. Чему равно A′(12)?
0
Отрицательное число
Положительное число
То же, что и A(12)
Ответ: 0. На вершине графика касательная горизонтальна, поэтому наклон равен 0. Положительный наклон означал бы, что площадь ещё растёт.
2Цель и ограничение
В любой задаче оптимизации две части. Назовите их, прежде чем что-либо считать.
Цель: величина, которую нужно максимизировать или минимизировать, например площадь A или стоимость C.
Ограничение: фиксированное условие, например общая длина ограды или объём, который должна вмещать банка.
Обычно в цели две переменные, например A = x · y. Это пока нельзя дифференцировать.
Используйте ограничение, чтобы выразить y через x. Тогда цель зависит только от x.
Пример: у прямоугольника с периметром 20 m справедливо 2x + 2y = 20, поэтому y = 10 − x и A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Сначала сделайте набросок и подпишите на нём каждую длину. Большинство ошибок случается в ограничении.
Самопроверка Поле вдоль реки огораживают с трёх сторон 40 m ограды: две стороны длиной x и одна сторона y, параллельная реке. Каково ограничение?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Ответ: 2x + y = 40. Ограды три: x, x и y. Сторона у реки не требует ограды. 2x + 2y соответствовало бы полному прямоугольнику с четырьмя огороженными сторонами.
3Задачи о стоимости и прибыли
В бизнес-задачах цель — прибыль: выручка минус затраты.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Здесь q — число проданных единиц, а p — цена за единицу. Если цена зависит от q, сначала подставьте эту формулу в R.
Пример: цена p = 60 − q, а затраты C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Наилучшая цена тогда p = 60 − 15 = €45. Внимательно читайте вопрос: он может спрашивать q, p или саму прибыль P.
Самопроверка Продукт продаётся по €40 за единицу. Затраты на q единиц составляют C = 100 + 10q + 0,5q² евро. Какой выпуск q даёт наибольшую прибыль?
15
30
40
60
Ответ: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², поэтому P′ = 30 − q = 0 и q = 30. Если забыть 2 при дифференцировании 0,5q², получится 60.
4Метод по шагам
Сделайте набросок и назовите переменные.
Запишите цель Q (площадь, стоимость, прибыль) и ограничение.
Используя ограничение, запишите Q как функцию одной переменной Q(x).
Продифференцируйте и решите Q′(x) = 0.
Проверьте, что точка нужного вида: Q″ < 0 для максимума, Q″ > 0 для минимума.
Ответьте на заданный вопрос: x, другая сторона или наилучшее значение самой Q, с единицами.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
У фермера есть 60 m ограды для прямоугольного поля вдоль прямой реки. Вдоль реки ограда не нужна. Найдите сторону y, параллельную реке, и наибольшую площадь A.
1
Набросок и ограничение
Река наверху, поэтому ограда нужна только с трёх сторон: две стороны x и одна сторона y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Площадь через одну переменную
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Приравняйте производную к нулю
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Это максимум?
A″(x) = −4 < 0
Вторая производная отрицательна, поэтому x = 15 m даёт наибольшую площадь.
5
Другая сторона и площадь
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Проверьте ответ
Попробуйте значение по обе стороны. x = 14 даёт 14 · 32 = 448 m², а x = 16 даёт 16 · 28 = 448 m². Оба меньше 450 m².
Ответ
y = 30 m, а наибольшая площадь равна A = 450 m².
6Типичные ошибки
Давать ответ для не той величины: вопрос спрашивает y, а вы даёте x.
Дифференцировать цель, в которой ещё две переменные. Сначала используйте ограничение.
Записывать неверное ограничение, например огораживать и сторону у реки.
Не проверять, является ли точка максимумом или минимумом.
Забывать единицы или давать площадь в m вместо m².
Самопроверка При 40 m ограды вдоль реки (2x + y = 40) наилучшая ширина равна x = 10 m. Вопрос спрашивает сторону y, параллельную реке. Что вы отвечаете?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Ответ: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Ответ 10 m даёт x вместо y, а 200 m² — это площадь, а не сторона.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: наибольшая площадь или объём, например поле вдоль реки или загон, разделённый дополнительной оградой.
Средняя: наименьшая стоимость или количество материала, например закрытая банка (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) или ограда с двумя ценами за метр.
Сложная: прибыль и выручка. Составьте P = R − C, решите P′(q) = 0, затем найдите цену или наибольшую прибыль.
Быстрая проверка: подставьте в Q значение чуть выше и чуть ниже вашего ответа. Оба должны быть хуже.
Открытую коробку делают из квадратного листа картона 18 cm × 18 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите наибольший возможный объём V.
18 cm × 18 cm
Найти: V(cm³)
Показать подсказки
Дно имеет размеры (18 − 2x) на (18 − 2x), а высота равна x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Смысл имеет только корень с 0 < x < 9.
Показать ответ и пошаговое решение
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
Объём как функция x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Приравняйте производную к нулю
Больший корень даёт сторону дна ≤ 0, поэтому он вне допустимой области.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 или x = 9
x = 3 cm
Объём
V = 3·12·12 = 432 cm³
Ответ
V = 432 cm³
Пример 2Средняя
Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.
V = 400 cm³
Найти: A(cm²)
Показать подсказки
Исключите h с помощью объёма: πr²h = 400, поэтому h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Показать ответ и пошаговое решение
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
Площадь как функция r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Приравняйте производную к нулю
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, поэтому это минимум.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Высота и площадь
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Ответ
A = 300,5 cm²
Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.
Пример 3Сложная
Театр продаёт 580 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 20 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 20 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.
580 × €1020 / €1
Найти: R(€)
Показать подсказки
Число билетов, проданных по цене p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
R′(p) = 780 − 40p = 0.
Показать ответ и пошаговое решение
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
Выручка как функция цены
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Приравняйте производную к нулю
R″(p) = −40 < 0, поэтому это максимум.
p = 780/40 = €19,5
Максимальная выручка
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Ответ
R = €7605
Вопросы и ответы
Оптимизация: что это?
Оптимизация означает поиск наилучшего значения: наибольшей площади при заданной длине ограды, наименьшего количества металла для банки или наибольшей прибыли.
Величина, которую вы хотите сделать как можно больше или меньше, зависит от одной переменной, например от ширины x поля.
Оптимизация: как решать задачи шаг за шагом?
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
Оптимизация: какие ошибки самые частые?
Каждая сторона дна теряет квадрат с обоих концов, поэтому стороны дна равны a − 2x и b − 2x, а не a − x и b − x.
Банка закрыта: учитывайте и крышку, и дно, A = 2πr² + 2πrh.
Это выручка при текущей цене. Сначала найдите цену, при которой R′(p) = 0.
Оптимизация: что вы тренируете?
Лёгкая: наибольшая площадь или объём
Средняя: наименьшая стоимость или расход материала
Сложная: прибыль и выручка
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.