Задачи для подготовки к AP Calculus: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Подготовка к темам AP Calculus AB и BC: пределы, производные и их приложения, оптимизация, интегралы, дифференциальные уравнения и темы рядов BC с многочленами Тейлора.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания.

Темы этого курса

  1. Пределыпрямая подстановка и разложение на множители · пределы на бесконечности · Правило Лопиталярасчёты
  2. Производныестепенное правило · цепное правило и правило произведения · касательные и экстремумырасчёты
  3. Оптимизациянаибольшая площадь или объём · наименьшая стоимость или расход материала · прибыль и выручкарасчёты
  4. Интегралымногочлены · экспоненты, логарифмы и замена переменной · площади между кривымирасчёты
  5. Дифференциальные уравненияэкспоненциальный рост и убывание · Закон охлаждения Ньютона · линейные первого порядкарасчёты
  6. Последовательности и рядыарифметические и геометрические ряды · сходимость и степенные ряды · многочлены Тейлора и Маклоренарасчёты

Советы к экзамену: Задачи для подготовки к AP Calculus

  • Пределы сначала проверяйте прямой подстановкой.
  • В задачах оптимизации проверяйте не только критические точки, но и концы отрезка.
  • Прежде чем интегрировать дифференциальное уравнение, разделите переменные.

Разобранные примеры

ПределыЛёгкая
xyx = 1

Найдите предел L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Найти: L

Показать подсказки
  1. Подстановка даёт 0/0. Разложите числитель на множители.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Показать ответ и пошаговое решение

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Попробуйте прямую подстановку

числитель → 0 и знаменатель → 0, поэтому неопределённость вида 0/0.

Разложение на множители и сокращение

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Подставьте

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Ответ

L = 4

Это производная xⁿ при x = a: n·aⁿ⁻¹.

ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = x3·e−x. Найдите f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Найти: f′(1)

Показать подсказки
  1. Правило произведения с u = x3 и v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Подставьте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Ответ

f′(1) = 0,7358

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор периода полураспада и экспоненциального распадаКалькулятор производной с шагами решенияКалькулятор интегралов (определённых и неопределённых)

Похожие курсы

Математический анализ 1Высшая математикаДифференциальные уравненияИнженерная математика 2Математический анализ 2Численные методыОсновы статистикиСтатистика 2: Статистический вывод
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.