Калькулятор производной с шагами решения
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Продифференцируйте функцию от x и посмотрите, как применяется каждое правило. Калькулятор работает с многочленами, степенями и корнями, показательными и логарифмическими, тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями и объединяет их правилами суммы, произведения, частного и цепным правилом, упрощая результат по ходу дела. Он также может найти вторую и третью производные, а также вычислить производную и касательную в точке.
Пошаговое решение
Прочитайте функцию
Правило суммы: дифференцируйте почленно
Правило произведения
Цепное правило
Производная частного
Цепное правило
Использованные правила дифференцирования
Результат
Вычислите в этой точке
Основные формулы
- Производная степени
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Правило произведения
- (uv)′ = u′v + uv′
- Производная частного
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Цепное правило
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Основные производные
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Как найти производную по шагам
- Разбейте сумму на слагаемые и продифференцируйте каждое отдельно (правило суммы). Постоянные множители остаются впереди (правило постоянного множителя).
- Для степеней используйте правило степени, d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. Оно работает и для корней и обратных величин: √x = x^(1/2) и 1/x² = x⁻².
- Для произведения u·v используйте правило произведения (uv)′ = u′v + uv′; для частного u/v — правило частного (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- Для функции от другой функции, например sin(3x) или e^(x²), используйте цепное правило: продифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю как есть и умножьте на производную внутренней.
- Упростите: приведите подобные слагаемые и сократите общие множители числителя и знаменателя.
Вопросы и ответы
Как вводить функцию?
Используйте ^ для степеней и скобки для аргументов функций: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). Знаки умножения можно опускать: 3x^2 sin(x) означает 3x²·sin(x). Записывайте e^(2x) со скобками; e^2x читается как e²·x.
Какие функции поддерживаются?
sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (по основанию 10) и sqrt в любых сочетаниях с +, −, ·, / и степенями, включая степени вроде x^x, где и основание, и показатель содержат x.
Чем отличаются ln и log?
ln — натуральный логарифм по основанию e, d/dx[ln x] = 1/x. В этом калькуляторе log означает десятичный логарифм, производная которого равна 1/(x·ln 10).
Как калькулятор находит касательную?
Введите точку x₀. Касательная имеет вид y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): она проходит через точку на кривой, а её угловой коэффициент равен производной.
Всегда ли ответ записан в простейшем виде?
Результат упрощается приведением подобных слагаемых, объединением степеней и сокращением общих множителей, но может быть записан иначе, чем в вашем учебнике, например cos(x)/sin(x) вместо cot(x). Обе формы равны.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Производные»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.