Калькулятор интегралов (определённых и неопределённых)
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Первообразная для 1/x равна ln|x|: модуль делает её верной и для отрицательных x.
Найдите первообразную или вычислите определённый интеграл. Для сумм стандартных слагаемых, таких как степени x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos и sec² от ax + b, (ax + b)ⁿ и ln(ax + b), калькулятор интегрирует почленно и точно вычисляет F(b) − F(a). Любая другая непрерывная функция интегрируется численно адаптивным методом Симпсона, а о несобственных интегралах калькулятор предупреждает.
Пошаговое решение
Прочитайте функцию и пределы
Найдите первообразную почленно
Вычислите F(b) − F(a)
Численная проверка
Основные формулы
- Производная степени
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Определённый интеграл
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Основные интегралы
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Площадь между кривыми
- ∫ab (f − g) dx
Как вычислить определённый интеграл
- Разбейте подынтегральную функцию на сумму слагаемых и проинтегрируйте каждое отдельно; постоянные множители остаются впереди.
- Используйте правило степени ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) при n ≠ −1 и ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Для функции от ax + b делите на a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a и ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Вычислите первообразную в верхнем и нижнем пределах и вычтите: ∫ f(x) dx от a до b = F(b) − F(a). Постоянная C сокращается.
- Проверьте, что подынтегральная функция непрерывна на [a, b]. Если на отрезке есть вертикальная асимптота, как у 1/x в x = 0, интеграл несобственный и требует предела.
Вопросы и ответы
Какие интегралы калькулятор решает точно?
Суммы постоянных кратных xⁿ (при любом рациональном n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan и csc·cot от ax + b, (ax + b)ⁿ и ln(ax + b). Произведения вроде x·eˣ требуют интегрирования по частям и вычисляются численно.
Насколько точно численное интегрирование?
Адаптивный метод Симпсона продолжает дробить те части отрезка, где оценка меняется, пока значения не совпадут примерно до десяти значащих цифр для гладких функций. Калькулятор показывает число вычислений функции и оценку погрешности.
Что такое + C?
Постоянная интегрирования. У каждой функции бесконечно много первообразных, отличающихся на постоянную, потому что производная постоянной равна нулю. В определённом интеграле она сокращается.
Почему появляется ошибка о несобственном интеграле?
Подынтегральная функция не определена или бесконечна где-то на [a, b], например 1/x на [−1, 1] или tan(x) при переходе через π/2. Такие интегралы требуют предела и могут расходиться, поэтому для них калькулятор значения не выдаёт.
Можно ли использовать π в пределах?
Да. Введите pi, pi/2 или 2pi либо e как предел; например, интеграл sin(x) от 0 до pi равен 2.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Интегралы»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.