Высшая математика: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Математика, на которой строятся инженерные курсы: математический анализ, комплексные числа, матрицы, теория вероятностей и статистика.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Пределыпрямая подстановка и разложение на множители · пределы на бесконечности · Правило Лопиталярасчёты
  2. Производныестепенное правило · цепное правило и правило произведения · касательные и экстремумырасчёты
  3. Интегралымногочлены · экспоненты, логарифмы и замена переменной · площади между кривымирасчёты
  4. Комплексные числаарифметика в алгебраической форме · полярная и показательная формы · формула Муавра, корни и уравнениярасчёты
  5. Дифференциальные уравненияэкспоненциальный рост и убывание · Закон охлаждения Ньютона · линейные первого порядкарасчёты
  6. Матрицы и определителиопределитель 2×2 · 3×3 и произведения · собственные значения и системырасчёты
  7. Векторы: скалярное и векторное произведениямодуль и компоненты · скалярное произведение · векторное произведение и моментырасчёты
  8. Вероятностьравновозможные исходы · подсчёт и противоположные события · биномиальное распределениерасчёты
  9. Описательная статистикасреднее и медиана · стандартное отклонение · нормальное распределениерасчёты
  10. Нормальное распределениеплощадь в одном хвосте · площадь между двумя значениями · процентилирасчёты

Советы к экзамену: Высшая математика

  • Проверьте размеры матриц перед умножением.
  • Нулевой определитель означает, что у матрицы нет обратной.
  • Нарисуйте эскиз функции, прежде чем дифференцировать или интегрировать её; эскиз помогает поймать ошибки в знаках.

Разобранные примеры

ПределыЛёгкая
xyx = 1

Найдите предел L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Найти: L

Показать подсказки
  1. Подстановка даёт 0/0. Разложите числитель на множители.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Показать ответ и пошаговое решение

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Попробуйте прямую подстановку

числитель → 0 и знаменатель → 0, поэтому неопределённость вида 0/0.

Разложение на множители и сокращение

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Подставьте

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Ответ

L = 4

Это производная xⁿ при x = a: n·aⁿ⁻¹.

ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = x3·e−x. Найдите f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Найти: f′(1)

Показать подсказки
  1. Правило произведения с u = x3 и v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Подставьте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Ответ

f′(1) = 0,7358

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор z-оценки и вероятности нормального распределенияКалькулятор среднего, медианы и стандартного отклоненияКалькулятор определителя и обратной матрицыКалькулятор нормального распределенияКалькулятор биномиального распределенияКалькулятор распределения ПуассонаКалькулятор размещений и сочетаний (nPr и nCr)Калькулятор собственных значений и собственных векторовКалькулятор математического ожидания и дисперсииКалькулятор периода полураспада и экспоненциального распадаКалькулятор значащих цифр (подсчёт, округление и вычисления)Калькулятор процентной погрешности (и процентной разницы)Калькулятор квадратных уравнений (ax² + bx + c = 0)Калькулятор систем линейных уравнений (2×2 и 3×3)Калькулятор производной с шагами решенияКалькулятор интегралов (определённых и неопределённых)

Похожие курсы

Инженерная математика 2Задачи для подготовки к AP CalculusМатематический анализ 1Основы статистикиДифференциальные уравненияЗадачи для подготовки к AP StatisticsМетоды исследования и статистика в психологииCFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.