Калькулятор собственных значений и собственных векторов
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
| Собственное значение | Кратность | Собственный вектор | Единичный собственный вектор |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы 2×2 или 3×3. Калькулятор раскрывает det(A − λI) в характеристический многочлен, решает его относительно вещественных или комплексных собственных значений с их кратностью и находит собственные векторы каждого вещественного собственного значения, решая (A − λI)v = 0. Каждый собственный вектор проверяется вычислением A·v, а для кратных собственных значений показывается, можно ли диагонализировать матрицу.
Пошаговое решение
Характеристическое уравнение det(A − λI) = 0
Собственные значения
Собственный вектор (λ = 5)
Собственный вектор (λ = 3)
Собственный вектор (λ = 2)
Основные формулы
- Собственные значения
- det(A − λI) = 0
Как найти собственные значения и собственные векторы
- Вычтите λ из каждого диагонального элемента A, чтобы получить A − λI.
- Приравняйте определитель к нулю: det(A − λI) = 0. Для матрицы 2×2 это λ² − (tr A)λ + det A = 0; для матрицы 3×3 это кубическое уравнение.
- Решите характеристическое уравнение. Проверка: сумма собственных значений равна следу, а произведение — определителю.
- Для каждого собственного значения решите (A − λI)v = 0 приведением строк. Решения образуют прямую (или плоскость); любой ненулевой вектор в ней является собственным.
- Проверьте каждый собственный вектор: A·v должно быть равно λ·v.
Вопросы и ответы
Как ввести матрицу?
Введите строки через точку с запятой, а числа в каждой строке через пробел, например 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 для матрицы 3×3. Допускаются десятичные и отрицательные числа.
Почему у матрицы могут быть комплексные собственные значения?
Характеристический многочлен может иметь комплексные корни, а для вещественной матрицы они всегда встречаются сопряжёнными парами. Матрица поворота 0 -1; 1 0 имеет собственные значения ±i, потому что ни один вещественный вектор не сохраняет направление при повороте.
Что означает кратное собственное значение?
Корень характеристического многочлена кратности 2 или 3. У матрицы всё равно может быть столько же независимых собственных векторов, как у единичной матрицы, или меньше. Если их меньше, матрица дефектна и не диагонализируется.
Единствен ли собственный вектор?
Нет. Любое ненулевое кратное собственного вектора тоже является собственным вектором. Калькулятор показывает простую форму, по возможности с целыми числами, и единичный вектор длины 1.
Для чего нужны собственные значения?
Они дают собственные частоты колебательных систем, главные напряжения тензора напряжений, устойчивость систем дифференциальных уравнений и главные направления в методе главных компонент.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Матрицы и определители»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.