Калькулятор квадратных уравнений (ax² + bx + c = 0)
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Решите любое квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Калькулятор вычисляет дискриминант, применяет формулу корней квадратного уравнения и выдаёт корни и в виде десятичных дробей, и в точной форме, как дроби или упрощённые квадратные корни вроде 2 ± √3, включая комплексные корни. Он также находит вершину, ось симметрии и разложение на множители и проверяет корни по формулам Виета.
Пошаговое решение
Определите a, b и c
Дискриминант
Формула корней квадратного уравнения
Вершина и ось симметрии
Разложение на множители
Проверка по формулам Виета
Основные формулы
- Квадратное уравнение при p² < 4q
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
Как решить квадратное уравнение
- Запишите уравнение в стандартном виде ax² + bx + c = 0 и выпишите a, b и c с их знаками.
- Вычислите дискриминант Δ = b² − 4ac. Если Δ > 0, два вещественных корня, если Δ = 0, один кратный корень, а если Δ < 0, два комплексно-сопряжённых корня.
- Используйте формулу корней x = (−b ± √Δ)/(2a). Упростите квадратный корень, вынеся квадратные множители: √12 = 2√3.
- Для Δ < 0 запишите √Δ = i·√|Δ|, тогда корни равны −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
- Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в x = −b/(2a); подставьте это значение, чтобы найти ординату.
- Проверка: сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a.
Вопросы и ответы
Когда можно разложить на множители вместо формулы?
Когда дискриминант — полный квадрат, а коэффициенты целые, корни рациональны, и квадратный трёхчлен раскладывается над целыми числами, например 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). В остальных случаях надёжный метод — формула корней.
Что означает отрицательный дискриминант?
Парабола не пересекает ось x, поэтому вещественных корней нет. Два корня — комплексно-сопряжённые p ± qi; они важны, например, в затухающих колебаниях и при анализе цепей.
Что такое вершинная форма?
y = a(x − h)² + k, где (h, k) — вершина. Она сразу показывает минимум (a > 0) или максимум (a < 0) параболы и находится выделением полного квадрата.
Что если a = 0?
Тогда уравнение линейное, bx + c = 0, с единственным решением x = −c/b. Формула корней привела бы к делению на ноль, поэтому калькулятор требует ненулевое a.
Почему калькулятор даёт точные корни?
На экзаменах часто требуют ответы вроде (3 ± √17)/4, а не десятичные дроби. Когда a, b и c целые или десятичные, калькулятор работает с точными дробями и упрощает квадратный корень.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Комплексные числа»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.