Калькулятор систем линейных уравнений (2×2 и 3×3)
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Решите систему из двух или трёх линейных уравнений. Вводите уравнения так, как вы их записываете, например 2x + y − z = 8, или введите расширенную матрицу. Калькулятор показывает каждую строковую операцию метода Гаусса–Жордана или определители правила Крамера, работает с точными дробями и распознаёт системы без решений или с бесконечным множеством решений, которое записывает с параметром.
Пошаговое решение
Система
Расширенная матрица
Колонна 1 (x): ведущий элемент в строке 1
Колонна 2 (y): ведущий элемент в строке 2
Колонна 3 (z): ведущий элемент в строке 3
Прочитайте решение
Проверьте в исходных уравнениях
Основные формулы
- определитель 2×2
- det = ad − bc
- Обратная матрица 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Правило Крамера
- xi = det(Ai)/det(A)
Как решить систему линейных уравнений методом исключения
- Запишите систему в виде расширенной матрицы: по строке на уравнение, коэффициенты при x, y и z, а справа от черты правая часть.
- Выберите ведущий элемент в первом столбце (ненулевой, лучше 1) и при необходимости поставьте его в первую строку.
- Разделите ведущую строку на ведущий элемент, затем вычитайте её, умноженную на нужные числа, из остальных строк, чтобы обнулить остальную часть столбца.
- Повторите для следующего столбца и следующей строки, пока часть с коэффициентами не примет упрощённый ступенчатый вид.
- Прочитайте решение. Строка 0 = c при c ≠ 0 означает, что решений нет; столбец без ведущего элемента означает свободную переменную и бесконечно много решений.
- Проверьте, подставив решение в исходные уравнения.
Вопросы и ответы
Когда использовать правило Крамера?
Для небольших систем с ненулевым определителем, особенно 2×2. Каждое неизвестное — отношение определителей: x = Dx/D. Для больших систем или при D = 0 исключение быстрее и к тому же показывает, нет ли решений или их бесконечно много.
Как понять, что у системы нет решений?
Когда в ходе исключения получается строка, где все коэффициенты равны нулю, а правая часть не равна нулю, например 0 = 3. Геометрически прямые или плоскости не имеют общей точки, например две параллельные прямые.
Что значит «бесконечно много решений»?
Одно уравнение является комбинацией остальных, поэтому независимых уравнений меньше, чем неизвестных. Решения образуют прямую или плоскость и записываются с параметром t: например, x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Как вводить уравнения?
Разделяйте уравнения точкой с запятой и записывайте коэффициент перед каждой переменной: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Допустимы дроби вроде 1/2x и десятичные числа, а переменная может стоять в обеих частях.
Что такое ранг?
Число ведущих элементов после исключения, то есть число независимых уравнений. Квадратная система имеет единственное решение ровно тогда, когда ранг равен числу неизвестных, то есть когда определитель не равен нулю.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Матрицы и определители»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.