Проверка гипотез и доверительные интервалы: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: проверка статистических гипотез · t-критерий Стьюдента · p-значение
Бесплатные задачи по теме Проверка гипотез и доверительные интервалы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: z-статистика, t-статистика, доверительные интервалы.
Бесплатная задачаЛёгкая
Поставщик утверждает, что среднее разрывное усилие кабеля равно 50 kN; вы подозреваете, что оно выше. Стандартное отклонение известно и равно 8 kN. Вы возьмёте выборку из 25 кабелей и проверите H₀: μ = 50 kN против H₁: μ > 50 kN при α = 0,05. При каком выборочном среднем x̄c и выше вы отвергнете H₀?
Машина должна в среднем наполнять бутылки 500 mL. Выборка бутылок имеет среднее 496 mL. Машина ошибается или это просто случайность?
Проверка гипотезы отвечает на этот вопрос с помощью чисел. Вы исходите из двух утверждений:
Нулевая гипотеза H₀: ничего не изменилось. Здесь H₀: μ = 500.
Альтернативная гипотеза H₁: то, что вы подозреваете. Здесь H₁: μ ≠ 500 (двусторонняя) или μ < 500, если вас беспокоит только недолив (односторонняя).
Вы предполагаете, что H₀ верна, и спрашиваете: насколько необычна эта выборка? Если она была бы очень необычной, вы отклоняете H₀.
Самопроверка Поставщик утверждает, что его резисторы в среднем имеют 220 Ω. Вы хотите проверить это утверждение. Что такое H₀?
x̄ = 220 Ω
μ > 220 Ω
μ = 220 Ω
μ ≠ 220 Ω
Ответ: μ = 220 Ω. H₀ — это проверяемое утверждение о среднем генеральной совокупности μ. μ ≠ 220 Ω — это альтернатива H₁, а гипотеза никогда не касается выборочного среднего x̄, которое вам уже известно.
2Статистика критерия
Статистика критерия измеряет, как далеко выборочное среднее лежит от μ₀, значения из H₀, в единицах стандартной ошибки.
z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)
Используйте z, когда стандартное отклонение генеральной совокупности σ известно. Когда известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t:
t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1
Значение z или t около 0 означает, что выборка согласуется с H₀. Большое положительное или отрицательное значение означает, что выборка далека от μ₀.
Самопроверка H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 и x̄ = 118. Чему равно z?
1
−0,25
−1
−4
Ответ: −1. Стандартная ошибка равна 8/√16 = 2, поэтому z = (118 − 120)/2 = −1. Деление на σ = 8 вместо σ/√n даёт −0,25. Знак отрицательный, потому что x̄ ниже μ₀.
3Принятие решения: критические значения и p-значения
До того как смотреть на данные, выберите уровень значимости α, обычно 0,05. Это риск, который вы принимаете, отклоняя верную H₀.
Односторонний (H₁: μ > μ₀): отклоняйте H₀, если z > 1,645. Для μ < μ₀: отклоняйте, если z < −1,645.
p-значение — это вероятность получить результат, по меньшей мере настолько экстремальный, если H₀ верна. Отклоняйте H₀, когда p < α.
Если H₀ не отклонена, это не доказывает её. Это лишь означает, что данные недостаточно убедительно свидетельствуют против неё.
Критерий и доверительный интервал согласуются: двусторонний критерий на уровне 5% отклоняет H₀ ровно тогда, когда μ₀ лежит вне 95%-го интервала x̄ ± 1,96 · σ/√n.
Самопроверка Двусторонний z-критерий при α = 0,05 даёт z = 1,8. Какой вы делаете вывод?
H₀ доказана
Не отклонять H₀
Отклонить H₀
Отклонить H₁ и считать H₀ доказанной
Ответ: Не отклонять H₀. |1,8| меньше 1,96, поэтому результат не значим, и H₀ не отклоняется. Это не доказывает H₀; просто данные недостаточно убедительны.
4Метод по шагам
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Выберите z (σ известно) или t (известно только s, df = n − 1).
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Сформулируйте вывод словами применительно к вопросу.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Машина должна в среднем наполнять бутылки 500 mL. σ = 12 mL. Выборка из 36 бутылок имеет среднее 496 mL. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500 при α = 0,05.
1
Гипотезы
H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Критерий двусторонний, поэтому критические значения равны ±1,96.
2
Стандартная ошибка
σ известно, поэтому используйте z.
σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3
Статистика критерия
z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4
Сравните
|−2| = 2 больше 1,96, поэтому z лежит в заштрихованной критической области.
5
Проверьте с помощью интервала
496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]
Значение 500 лежит вне 95%-го интервала, поэтому интервал даёт то же решение.
Ответ
z = −2. Отклоняем H₀ на уровне 5%: среднее наполнение машины отличается от 500 mL.
6Типичные ошибки
Использовать одностороннее критическое значение (1,645) для двустороннего критерия или наоборот.
Утверждают, что H₀ доказана, если она не отвергнута.
Забывают √n в стандартной ошибке.
Записывать x̄ − μ₀ в обратном порядке, из-за чего знак z меняется.
Использовать z, когда для малой выборки известно только выборочное s.
Самопроверка Односторонний критерий с H₁: μ > μ₀ при α = 0,05 даёт z = 1,8. Какой вы делаете вывод?
Не отклонять H₀, потому что 1,8 < 1,96
Не отклонять H₀, потому что 1,8 < 2,576
Отклонить H₀, потому что 1,8 > 1,645
Отклонить H₀, потому что z положительно
Ответ: Отклонить H₀, потому что 1,8 > 1,645. Односторонний критерий на уровне 5% помещает все 5% в один хвост, поэтому критическое значение равно 1,645. Сравнение с 1,96 ошибочно использует двустороннее значение.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: статистика z. σ известно; вычислите z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
Средняя: статистика t. Дано только выборочное стандартное отклонение s; вычислите t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
Сложная: доверительные интервалы. Найдите нижнюю или верхнюю границу x̄ ± z · σ/√n при 95% или 99%.
Быстрая проверка: если x̄ ниже μ₀, статистика критерия должна быть отрицательной.
Автомат должен наливать в бутылки в среднем 100 mL. Стандартное отклонение известно: 4 mL. Выборка из 81 бутылок имеет среднее 99,6 mL. Найдите статистику критерия z для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81
Найти: z
Показать подсказки
Стандартная ошибка среднего — стандартное отклонение, делённое на √n.
SE = 4/√81 = 0,4444.
Затем разделите разность x̄ − μ₀ на стандартную ошибку. Сохраняйте знак.
Показать ответ и пошаговое решение
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Статистика критерия
z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9
Ответ
z = −0,9
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
Пример 2Средняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 504,5 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64
Найти: t
Показать подсказки
Стандартная ошибка среднего — стандартное отклонение, делённое на √n.
SE = 15/√64 = 1,875.
Затем разделите разность x̄ − μ₀ на стандартную ошибку. Сохраняйте знак.
Показать ответ и пошаговое решение
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Статистика критерия
t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4
Ответ
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
Пример 3Сложная
Выборка из 64 измерений имеет среднее 80. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 80σ = 20n = 6499%
Найти: L
Показать подсказки
Доверительный интервал: x̄ ± z*·σ/√n.
z* = 2,576 для 99%.
σ/√n = 2,5.
Показать ответ и пошаговое решение
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·20/√64 = 6,44
Граница интервала
L = 80 − 6,44 = 73,56
Ответ
L = 73,56
Вопросы и ответы
Проверка гипотез и доверительные интервалы: что это?
Машина должна в среднем наполнять бутылки 500 mL. Выборка бутылок имеет среднее 496 mL. Машина ошибается или это просто случайность?
Вы предполагаете, что H₀ верна, и спрашиваете: насколько необычна эта выборка? Если она была бы очень необычной, вы отклоняете H₀.
Проверка гипотез и доверительные интервалы: как решать задачи шаг за шагом?
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Проверка гипотез и доверительные интервалы: какие ошибки самые частые?
Для двустороннего критерия берут одностороннее критическое значение.
Утверждают, что H₀ доказана, если она не отвергнута.
Забывают √n в стандартной ошибке.
Проверка гипотез и доверительные интервалы: что вы тренируете?
Лёгкая: z-статистика
Средняя: t-статистика
Сложная: доверительные интервалы
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.