Математический анализ 2: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Математический анализ функций нескольких переменных

Частные производные: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градиент: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Производная по направлению: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест по вторым производным: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярные координаты: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (f_x, f_y) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите f_x = 0 и f_y = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁² 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 2]

I =

2.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3.Последовательности и рядыСредняя

Найдите сумму S = Σ_k=1²⁸ 5/(k(k + 1)).

a_k = 5/(k(k + 1))n = 28

S =

4.Последовательности и рядыСложная

Найдите коэффициент c₂ при (x − 3)² в ряде Тейлора функции f(x) = ln x в точке a = 3.

f(x) = ln xa = 3k = 2

c₂ =

5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя

Для f(x, y) = 2 sin(2x − 3y) найдите производную по направлению D_uf в точке (−1, 0,5) в направлении v = (4, −2).

f(x, y) = 2 sin(2x − 3y)P = (−1, 0,5)v = (4, −2)

D_uf =

6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная

Отмеченные точки — критические точки функции f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y. Нажмите на локальный максимум.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y

1A (3, −2)
2B (−3, −2)

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 90 °C оставили в комнате при 24 °C. Через 10 min температура равна 48 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 90 °CT_a = 24 °CT(10) = 48 °C

k = min⁻¹

8.Дифференциальные уравненияСложная

Решите y′ + 0,5y = 7e^−2t при y(0) = 4. Найдите y(1,5).

y′ + 0,5y = 7e^−2ty(0) = 4

y(1.5) =

3Растворы

1.Интегралы

Ответ: I = 2,773

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 4·ln x

Подставьте пределы

I = 4·(ln 2 − ln 1) = 4·ln 2 = 2,773

Ответ

I = 2,773

2.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

3.Последовательности и ряды

Ответ: S = 4,828

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

Отмена

S = 5·(1 − 1/29) = 4,828

Ответ

S = 4,828

4.Последовательности и ряды

Ответ: c₂ = −0,05556

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Производная f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Коэффициент

c₂ = f⁽²⁾(3)/2! = −1/(3²·2) = −0,05556

c₂ = −0,05556

Ответ

c₂ = −0,05556

5.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: D_uf = −5,863

Градиент: ∇f = (f_x, f_y) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна D_uf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Градиент в точке

f_x = 4 cos(2x − 3y) → f_x(−1, 0,5) = −3,746

f_y = −6 cos(2x − 3y) → f_y(−1, 0,5) = 5,619

Единичный вектор

|v| = √(4² + (−2)²) = 4,472

u = (0,8944, −0,4472)

Скалярное произведение

D_uf = (−3,746)·0,8944 + 5,619·(−0,4472) = −5,863

Ответ

D_uf = −5,863

6.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: A (3, −2)

Критические точки и двойные интегралы: в критической точке f_x = f_y = 0. Тест по вторым производным с D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 и f_xx > 0 — локальный минимум, D > 0 и f_xx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).

Критические точки

Решите f_x = 0 и f_y = 0 совместно.

f_x = −(3x² − 27) = 0

f_y = −(2y + 4) = 0

(3, −2), (−3, −2)

Тест по вторым производным

(3, −2): f_xx = −18, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 36 → локальный максимум

(−3, −2): f_xx = 18, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −36 → седловая точка

Точка

A (3, −2): локальный максимум

Ответ

A (3, −2)

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,1012 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−10k = 24/66

Найдите k

k = ln(66/24)/10 = 0,1012 min⁻¹

Ответ

k = 0,1012 min⁻¹

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1.5) = 3,862

Интегрирующий множитель

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 7e^−1,5t

Общее решение

y = 7/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −4,667·e^−2t + C·e^−0,5t

Начальное условие

4 = −4,667 + C → C = 8,667

Вычислите

y(1,5) = −4,667·0,04979 + 8,667·0,4724 = 3,862

Ответ

y(1,5) = 3,862

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2