В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Интегралы
Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx
Метод
Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Математический анализ функций нескольких переменных
Частные производные
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градиент
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Производная по направлению
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Цепное правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест по вторым производным
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярные координаты
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Метод
Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.ИнтегралыСредняя
Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 2 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).
y = 0,5x0 ≤ x ≤ 2
V =
2.ИнтегралыСложная
Найдите площадь A области, ограниченной y = x2 и y = 4x.
y = x2y = 4x
A =
3.Последовательности и рядыСредняя
Найдите сумму S = Σk=1∞ 1/(k(k + 2)).
ak = 1/(k(k + 2))
S =
4.Последовательности и рядыСложная
Найдите коэффициент c₂ при (x − 2)² в ряде Тейлора функции f(x) = ln x в точке a = 2.
f(x) = ln xa = 2k = 2
c₂ =
5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя
Для f(x, y) = −2x³ey найдите производную по направлению Duf в точке P(1, 0,5) в направлении к Q(−3, −2,5).
f(x, y) = −2x³eyP = (1, 0,5)Q = (−3, −2,5)
Duf =
6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная
Функция f(x, y) = x³ + y³ + 9xy имеет критическую точку (0, 0). Вычислите там дискриминант D = fxxfyy − fxy².
f(x, y) = x³ + y³ + 9xyP = (0, 0)
D =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Банку газировки температурой 3 °C достали из холодильника в комнату при 27 °C. Через 24 min температура равна 21 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 27 °CT(24) = 21 °C
k = min⁻¹
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите задачу Коши y′ + 3y/x = 3x2 при x > 0, y(1) = 3. Найдите y(2).
y′ + 3y/x = 3x2y(1) = 3
y(2) =
3Растворы
1.Интегралы
Ответ: V = 2,094
Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.
Метод дисков
V = π∫₀2 0,25x² dx
Интегрируйте
V = π·0,25·2³/3 = 2,094
Ответ
V = 2,094
Проверка: конус с радиусом 1 и высотой 2 имеет (1/3)πr²h = 2,094.
2.Интегралы
Ответ: A = 10,67
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Точки пересечения
x2 = 4x → x = 0, x = 4
Интегрируйте верхнюю минус нижнюю
A = [2x2 − 0,3333x3]04 = 10,67
Ответ
A = 10,67
3.Последовательности и ряды
Ответ: S = 0,75
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Простые дроби
1/(k(k + 2)) = (1/2)·(1/k − 1/(k + 2))
Отмена
S = (1/2)·(1 + 1/2) = 0,75
Ответ
S = 0,75
4.Последовательности и ряды
Ответ: c₂ = −0,125
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Производная f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −1/x²
Коэффициент
c₂ = f⁽²⁾(2)/2! = −1/(2²·2) = −0,125
c₂ = −0,125
Ответ
c₂ = −0,125
5.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: Duf = 9,892
Градиент: ∇f = (fx, fy) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна Duf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Градиент в точке
fx = −6x²ey → fx(1, 0,5) = −9,892
fy = −2x³ey → fy(1, 0,5) = −3,297
Единичный вектор
|v| = √((−4)² + (−3)²) = 5
u = (−0,8, −0,6)
Скалярное произведение
Duf = (−9,892)·(−0,8) + (−3,297)·(−0,6) = 9,892
Ответ
Duf = 9,892
6.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: D = −81
Критические точки и двойные интегралы: в критической точке fx = fy = 0. Тест по вторым производным с D = fxxfyy − fxy²: D > 0 и fxx > 0 — локальный минимум, D > 0 и fxx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).
Вторые производные
fxx = 0, fyy = 0, fxy = 9
Дискриминант
D = 0·0 − 9² = −81
→ седловая точка
Ответ
D = −81
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: k = 0,05776 min⁻¹
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Отношение разностей температур
e−24k = -6/-24
Найдите k
k = ln(-24/-6)/24 = 0,05776 min⁻¹
Ответ
k = 0,05776 min⁻¹
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(2) = 4,313
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.