В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Интегралы
Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx
Метод
Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Математический анализ функций нескольких переменных
Частные производные
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градиент
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Производная по направлению
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Цепное правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест по вторым производным
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярные координаты
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Метод
Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.ИнтегралыСредняя
Вычислите I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
2.ИнтегралыСложная
Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.
y = 4 − x²
A =
3.Последовательности и рядыСредняя
Ровно один из четырёх рядов сходится. Нажмите на него.
A: Σ 1/√kB: Σ (k + 3)/k²C: Σ (1 + 1/k)ᵏD: Σ 3/k⁴
1A: Σ 1/√k
2B: Σ (k + 3)/k²
3C: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4D: Σ 3/k⁴
4.Последовательности и рядыСложная
Используйте многочлен Маклорена степени 2 для f(x) = 1/(1 − x), чтобы приблизить f(0,5). Укажите P₂(0,5).
f(x) = 1/(1 − x)n = 2x = 0,5
P₂(0.5) =
5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя
Для f(x, y) = x³y³ − x² − 2y² − 3xy найдите наибольшую скорость изменения f в точке (1, −1), то есть |∇f|.
f(x, y) = x³y³ − x² − 2y² − 3xyP = (1, −1)
|∇f| =
6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная
Интеграл I = ∫02 ∫y2 cos(x²) dx dy нельзя вычислить в таком порядке. Измените порядок интегрирования и вычислите его.
f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Банку газировки температурой 3 °C достали из холодильника в комнату при 23 °C. Через 17 min температура равна 18 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 23 °CT(17) = 18 °C
k = min⁻¹
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 5 при x > 0, y(1) = 5. Найдите y(2).
y′ + 2y/x = 5y(1) = 5
y(2) =
3Растворы
1.Интегралы
Ответ: I = 3,75
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Замена переменной
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
Проинтегрируйте и подставьте пределы
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75
Ответ
I = 3,75
2.Интегралы
Ответ: A = 10,67
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Нули
4 − x² = 0 → x = ±2
Интегрируйте
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Ответ
A = 10,67
3.Последовательности и ряды
Ответ: D: Σ 3/k⁴
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Проверьте каждый ряд
A: Σ 1/√k → p-ряд с p = 1/2 ≤ 1: расходится.
B: Σ (k + 3)/k² → При больших k ведёт себя как 1/k: расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом.
C: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члены стремятся к e, а не к 0: расходится по необходимому признаку (признаку n-го члена).
D: Σ 3/k⁴ → p-ряд с p = 4 > 1: сходится.
Ответ
D: Σ 3/k⁴
Ответ
D: Σ 3/k⁴
4.Последовательности и ряды
Ответ: P₂(0.5) = 1,75
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₂(x) = 1 + x + x²
Подставьте
P₂(0,5) = 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
Ответ
P₂(0,5) = 1,75
Точное значение равно f(0,5) = 2; погрешность 0,25 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: |∇f| = 4,472
Градиент: ∇f = (fx, fy) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна Duf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Частные производные
fx = 3x²y³ − 2x − 3y → fx(1, −1) = −2
fy = 3x³y² − 4y − 3x → fy(1, −1) = 4
Длина градиента
|∇f| = √((−2)² + 4²) = 4,472
Ответ
|∇f| = 4,472
6.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: I = −0,3784
Критические точки и двойные интегралы: в критической точке fx = fy = 0. Тест по вторым производным с D = fxxfyy − fxy²: D > 0 и fxx > 0 — локальный минимум, D > 0 и fxx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).
Область
0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2
Изменённый порядок
I = ∫02 ∫0x cos(x²) dy dx = ∫02 x·cos(x²) dx
Замена u = x²
I = [sin(x²)/2]02 = −0,3784
Ответ
I = −0,3784
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: k = 0,08155 min⁻¹
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Отношение разностей температур
e−17k = -5/-20
Найдите k
k = ln(-20/-5)/17 = 0,08155 min⁻¹
Ответ
k = 0,08155 min⁻¹
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(2) = 4,167
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.