В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Интегралы
Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx
Метод
Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Математический анализ функций нескольких переменных
Частные производные
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градиент
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Производная по направлению
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Цепное правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест по вторым производным
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярные координаты
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Метод
Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.ИнтегралыСредняя
Вычислите I = ∫12 3/x dx.
f(x) = 3/x[1, 2]
I =
2.ИнтегралыСложная
Вычислите I = ∫₀1 x²·eˣ dx.
∫₀1 x²eˣ dx
I =
3.Последовательности и рядыСредняя
Ровно один из четырёх рядов сходится. Нажмите на него.
Используйте многочлен Маклорена степени 5 для f(x) = sin(3x), чтобы приблизить f(0,8). Укажите P₅(0,8).
f(x) = sin(3x)n = 5x = 0,8
P₅(0.8) =
5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя
z = −xy + 3x² − 3y², где x = −3t − 1 и y = t² − 1. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = −1.
z = −xy + 3x² − 3y²x = −3t − 1y = t² − 1t = −1
dz/dt =
6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная
Используйте полярные координаты, чтобы вычислить I = ∬R (x² + y²) dA, где R — кольцо 1 ≤ x² + y² ≤ 9.
f = x² + y²1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Чашку кофе температурой 80 °C оставили в комнате при 22 °C. Через 19 min температура равна 32 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 26 °C?
T0 = 80 °CTa = 22 °CT(19) = 32 °CT = 26 °C
t = min
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 3x2 при x > 0, y(1) = −1. Найдите y(2).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = −1
y(2) =
3Растворы
1.Интегралы
Ответ: I = 2,079
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Первообразная
F(x) = 3·ln x
Подставьте пределы
I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2,079
Ответ
I = 2,079
2.Интегралы
Ответ: I = 0,7183
Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.
Первый шаг
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
Второй шаг
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Пределы
2,718·(1) − 1·2 = 0,7183
Ответ
I = 0,7183
3.Последовательности и ряды
Ответ: B: Σ 1/(3ᵏ + k)
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Проверьте каждый ряд
A: Σ (2k + 1)/(k + 2) → Члены стремятся к 2, а не к 0: расходится по необходимому признаку (признаку n-го члена).
B: Σ 1/(3ᵏ + k) → Меньше (1/3)ᵏ, сходящегося геометрического ряда: сходится по признаку сравнения.
C: Σ (k + 4)/k² → При больших k ведёт себя как 1/k: расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом.
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₅(x) = 3x − 4,5x³ + 2,025x⁵
Подставьте
P₅(0,8) = 2,4 − 2,304 + 0,663552 = 0,7596
Ответ
P₅(0,8) = 0,7596
Точное значение равно f(0,8) = 0,675463; погрешность −0,0840888 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: dz/dt = −32
Градиент: ∇f = (fx, fy) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна Duf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Точка и скорости
x(−1) = 2, y(−1) = 0
dx/dt = −3, dy/dt = 2t = −2
Частные производные
fx = −y + 6x = 12
fy = −x − 6y = −2
Цепное правило
dz/dt = 12·(−3) + (−2)·(−2) = −32
Ответ
dz/dt = −32
6.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: I = 125,7
Критические точки и двойные интегралы: в критической точке fx = fy = 0. Тест по вторым производным с D = fxxfyy − fxy²: D > 0 и fxx > 0 — локальный минимум, D > 0 и fxx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).
Полярная форма
I = ∫02π ∫13 r²·r dr dθ
Интегрируйте
∫ r²·r dr = [r⁴/4]
I = 125,7
Ответ
I = 125,7
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 28,9 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Константа охлаждения
k = ln(58/10)/19 = 0,09252 min⁻¹
Время достижения целевой температуры
t = ln(58/4)/0,09252 = 28,9 min
Ответ
t = 28,9 min
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(2) = 4,4
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.