В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Интегралы
Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx
Метод
Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Математический анализ функций нескольких переменных
Частные производные
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градиент
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Производная по направлению
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Цепное правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест по вторым производным
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярные координаты
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Метод
Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (fx, fy) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите fx = 0 и fy = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = fxx·fyy − fxy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.ИнтегралыСредняя
Вычислите I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
2.ИнтегралыСложная
Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.
y = 1 − x²
A =
3.Последовательности и рядыСредняя
Ровно один из четырёх рядов расходится. Нажмите на него.
A: Σ (4/5)ᵏB: Σ 1/(3ᵏ + k)C: Σ 3ᵏ/k!D: Σ 1/√k
1A: Σ (4/5)ᵏ
2B: Σ 1/(3ᵏ + k)
3C: Σ 3ᵏ/k!
4D: Σ 1/√k
4.Последовательности и рядыСложная
Функция f(x) = cos x приближается её многочленом Маклорена степени 2 в точке x = 0,8. Используйте оценку Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! с M = 1, чтобы найти наибольшую возможную погрешность |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 0,8M = 1
|R₂| =
5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя
Для f(x, y) = 3 ln(x² + y²) найдите наибольшую скорость изменения f в точке (0,5, −1), то есть |∇f|.
f(x, y) = 3 ln(x² + y²)P = (0,5, −1)
|∇f| =
6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная
Вычислите I = ∬T (4x + 3y) dA по треугольнику T, ограниченному прямыми y = 0, x = 4 и y = 2x.
f = 4x + 3y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 2x
I =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Кованую стальную деталь температурой 380 °C оставили остывать в цехе при 27 °C. Через 12 min температура равна 245 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 326 °C?
T0 = 380 °CTa = 27 °CT(12) = 245 °CT = 326 °C
t = min
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 6x при x > 0, y(1) = −2. Найдите y(2).
y′ + 2y/x = 6xy(1) = −2
y(2) =
3Растворы
1.Интегралы
Ответ: I = 3,75
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Замена переменной
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
Проинтегрируйте и подставьте пределы
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75
Ответ
I = 3,75
2.Интегралы
Ответ: A = 1,333
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
Нули
1 − x² = 0 → x = ±1
Интегрируйте
A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333
Ответ
A = 1,333
3.Последовательности и ряды
Ответ: D: Σ 1/√k
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Проверьте каждый ряд
A: Σ (4/5)ᵏ → Геометрический ряд с r = 4/5, |r| < 1: сходится.
B: Σ 1/(3ᵏ + k) → Меньше (1/3)ᵏ, сходящегося геометрического ряда: сходится по признаку сравнения.
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
5.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: |∇f| = 5,367
Градиент: ∇f = (fx, fy) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна Duf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Частные производные
fx = 6x/(x² + y²) → fx(0,5, −1) = 2,4
fy = 6y/(x² + y²) → fy(0,5, −1) = −4,8
Длина градиента
|∇f| = √(2,4² + (−4,8)²) = 5,367
Ответ
|∇f| = 5,367
6.Математический анализ функций нескольких переменных
Ответ: I = 298,7
Критические точки и двойные интегралы: в критической точке fx = fy = 0. Тест по вторым производным с D = fxxfyy − fxy²: D > 0 и fxx > 0 — локальный минимум, D > 0 и fxx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).
Пределы
0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2x
Внутренний интеграл
∫02x (4x + 3y) dy = 4x·2x + 3·(2x)²/2 = 14x²
Внешний интеграл
I = 14·4³/3 = 298,7
Ответ
I = 298,7
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 4,134 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Константа охлаждения
k = ln(353/218)/12 = 0,04016 min⁻¹
Время достижения целевой температуры
t = ln(353/299)/0,04016 = 4,134 min
Ответ
t = 4,134 min
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(2) = 5,125
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.