Математический анализ 2: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Математический анализ функций нескольких переменных

Частные производные: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градиент: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Производная по направлению: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест по вторым производным: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярные координаты: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (f_x, f_y) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите f_x = 0 и f_y = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

2.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²

A =

3.Последовательности и рядыСредняя

Найдите сумму S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 4)).

a_k = 1/(k(k + 4))

S =

4.Последовательности и рядыСложная

Функция f(x) = cos x приближается в точке x = 2 её многочленом Маклорена степени n. С оценкой Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! и M = 1 найдите наименьшую степень n, гарантирующую погрешность меньше 0,001.

f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 0,001

n =

5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя

z = −4x³y² − 3x³ + 5y³ + xy, где x = t − 2 и y = t² − 1. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = 0.

z = −4x³y² − 3x³ + 5y³ + xyx = t − 2y = t² − 1t = 0

dz/dt =

6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная

Интеграл I = ∫₀² ∫_y² sin(x²) dx dy нельзя вычислить в таком порядке. Измените порядок интегрирования и вычислите его.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2

I =

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 3 °C достали из холодильника в комнату при 23 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,04 min⁻¹ найдите температуру T через 16 min.

T₀ = 3 °CT_a = 23 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 16 min

T = °C

8.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 100 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,25 kg на литр поступает со скоростью 2 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 10 kg соли?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3Растворы

1.Интегралы

Ответ: I = 23,5

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Ответ

I = 23,5

2.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

3.Последовательности и ряды

Ответ: S = 0,5208

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

1/(k(k + 4)) = (1/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Отмена

S = (1/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 0,5208

Ответ

S = 0,5208

4.Последовательности и ряды

Ответ: n = 9

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Оценки при возрастающем n

n = 8: 0,001411 ≥ 0,001

n = 9: 0,0002822 < 0,001

Наименьшая степень

n = 9

Ответ

n = 9

5.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: dz/dt = −85

Градиент: ∇f = (f_x, f_y) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна D_uf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Точка и скорости

x(0) = −2, y(0) = −1

dx/dt = 1, dy/dt = 2t = 0

Частные производные

f_x = −12x²y² − 9x² + y = −85

f_y = −8x³y + 15y² + x = −51

Цепное правило

dz/dt = (−85)·1 + (−51)·0 = −85

Ответ

dz/dt = −85

6.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: I = 0,8268

Критические точки и двойные интегралы: в критической точке f_x = f_y = 0. Тест по вторым производным с D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 и f_xx > 0 — локальный минимум, D > 0 и f_xx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).

Область

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2

Изменённый порядок

I = ∫₀² ∫₀^x sin(x²) dy dx = ∫₀² x·sin(x²) dx

Замена u = x²

I = [−cos(x²)/2]₀² = 0,8268

Ответ

I = 0,8268

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 12,45 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 23 + (−20)·e^−0,04t

Подставьте t

T(16) = 23 + (−20)·0,5273 = 12,45 °C

Ответ

T = 12,45 °C

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 25,54 min

Результат

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/50

Найдите t

e^−t/50 = (25 − 10)/(25 − 0) = 0,6

t = 50·ln(1,667) = 25,54 min

Ответ

t = 25,54 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2