Аннуитет выплачивает €1 500 в конце каждого года в течение 17 лет. Процентная ставка — 3 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €1 500i = 3%n = 17
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 17 лет вам нужно €25 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €25 0006% / 12N = 204
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €30 000 сегодня, служит 6 лет, а его эксплуатация обходится в €4 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 12 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €21 500 и растёт на 4 % в год до последнего денежного потока в конце года 7. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €150 000CF1 = €21 500g = 4%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 2,5% до 4,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 4%n = 14y1 = 2,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 7 лет и продаётся за €1 065. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 7P = €1 065
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 1,2 имеет требуемую доходность 8,5%. Безрисковая ставка — 2,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 1,2re = 8,5%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1,1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 1,5. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 3%, рыночная премия за риск — 5%. Найдите стоимость собственного капитала re при новой структуре капитала.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 42,5.
μ = 50σ = 15x = 42,5
z =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.
n = 9k = 4
N =
12.ВероятностьСложная
В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?
n = 11p = 0,7k = 1
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них меньше 649,6 g. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16< 649.6 g
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 100 балловσ = 15 баллов5%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 элементов имеет среднее 10,5 и стандартное отклонение s = 12,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 25x̄ = 10,5s = 12,599%t(24) = 2,797
E =
16.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 76 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 11 участков, среднее 84,5 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 500,7 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 4n = 100
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 117,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 117,2σ = 20n = 2595%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 19749 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,605)/0,03 = 13,17
Приведённая стоимость
PV = 1 500·13,17 = €19 749,18
Ответ
PV = €19 749,18
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 70,78 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Цена покупки в пересчёте на год
30 000/4,111 = 7 296,77
EAC
EAC = 7 296,77 + 4 000 = €11 296,77
Ответ
EAC = €11 296,77
4.NPV и IRR
Ответ: NPV = −41226 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = −226,5 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 065 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Численное решение
P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72
YTM = 1,996%
Ответ
YTM = 1,996%
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 7,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (8,5% − 2,5%)/1,2 = 5%
Доходность рынка
rm = 2,5% + 5% = 7,5%
Ответ
rm = 7,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 15,02 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета с учётом долга
βL = 1,1·(1 + 0,79·1,5) = 2,404
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 3% + 2,404·5% = 15,02%
Ответ
re = 15,02%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 15,12
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (42,5 − 50)/15 = −0,5
Ответ
z = −0,5
11.Вероятность
Ответ: N = 126
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Ответ
N = 126
12.Вероятность
Ответ: P = 4,547 × 10⁻⁵
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 640 g, σT = 1,2·√16 = 4,8 g
Стандартизуйте
z = (649,6 − 640)/4,8 = 2
Вероятность
P = Φ(2) = 0,9772
Ответ
P = 0,9772
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 124,6 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 100 + 1,64·15 = 124,6 баллов
Ответ
x = 124,6 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 6,992
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Предельная ошибка
E = 2,797·12,5/√25 = 6,992
Ответ
E = 6,992
16.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −5,388 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (14·3² + 10·2,5²)/24 = 7,854
sp = 2,803
Предельная ошибка
E = 2,797·2,803·√(1/15 + 1/11) = 3,112
Интервал
−8,5 ± 3,112 → [−11,61, −5,388]
Ответ
верхняя граница = −5,388 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,75
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Статистика критерия
t = (500,7 − 500)/0,4 = 1,75
Ответ
t = 1,75
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 109,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·20/√25 = 7,84
Граница интервала
L = 117,2 − 7,84 = 109,4
Ответ
L = 109,4
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9719
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 432/6 = 72
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1272
Коэффициент корреляции
r = 290/√(70·1272) = 0,9719
Ответ
r = 0,9719
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 76,69
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 413/6 = 68,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 137,5
Линия регрессии
b = 137,5/17,5 = 7,857
a = 68,83 − 7,857·4,5 = 33,48
ŷ = 33,48 + 7,857·x
Прогноз
ŷ = 33,48 + 7,857·5,5 = 76,69
Ответ
ŷ = 76,69
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.