CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под 6 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 3 лет.

PV = €2 000r = 6%t = 3

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €12 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €12 0005,4% / 12N = 60

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €26 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 3%r = 9%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Инвестиция €40 000 приносит €9 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €40 000CF = €9 000n = 6

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 7 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €880 при доходности к погашению 4%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 7P = €880YTM = 4%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 005 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 3,3 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 25 базисных пунктов.

P₀ = €1 005y = 7%D = 3,3Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €12 000 000, стоимость собственного капитала — 10%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 5%, 4 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 018. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €12 000 000r_e = 10%облигации: 5 000 × €1 018купон = 5%n = 4T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 36, 52, 48, 28, 47.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 146.

μ = 170σ = 20x = 146

z =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 4

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 5

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 24,8 и 33,5 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 33,5

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 80% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 93,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 105 h, известное стандартное отклонение 14 h. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 93,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 105 hσ₂ = 14 h95%

нижняя граница = h

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 20. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 20E = 495%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 116,4 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,4s = 8n = 16

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 7. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 2σ = 7z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 58?

n = 5ŷ = 58

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2394 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,06·3 = 0,18

e^0,18 = 1,197

Будущая стоимость

FV = 2 000·1,197 = €2 394,43

Ответ

FV = €2 394,43

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 228,7 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7638

A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €228,66

Ответ

A = €228,66

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 33333 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 26 000/(0,09 − 0,03) = 433 333,33

NPV

NPV = 433 333,33 − 400 000 = €33 333,33

Ответ

NPV = €33 333,33

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 9,312 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 40 000/9 000 = 4,444

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 9%: 4,486

i = 10%: 4,355

IRR = 9,312%

Ответ

IRR = 9,312%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 2,001 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,04)⁻⁷ = €759,92

Купон

C = (880 − 759,92)/6,002 = €20,01

Купонная ставка

c = 20,01/1000 = 2,001%

Ответ

c = 2,001%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 997,3 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 3,3/1,07 = 3,084

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −3,084·(0,0025) = −0,771%

P ≈ 1005·(1 − 0,00771) = €997,25

Ответ

P = €997,25

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,5 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 7,5%

Ответ

WACC = 7,5%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,986 %

Стоимость долга (YTM)

1018 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 4,498%

Рыночные стоимости

D = 5 000·€1 018 = €5 090 000

V = €17 090 000, E/V = 0,7022, D/V = 0,2978

WACC

WACC = 0,7022·10% + 0,2978·4,498%·(1 − 0,28) = 7,986%

Ответ

WACC = 7,986%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 9,475

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 245/6 = 40,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−6,833)² + (−4,833)² + 11,17² + 7,167² + (−12,83)² + 6,167² = 448,8

Стандартное отклонение

s = √(448,8/5) = 9,475

Ответ

s = 9,475

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (146 − 170)/20 = −1,2

Ответ

z = −1,2

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5177

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Ответ

P = 0,5177

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 1,609

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Ответ

σ_Y = 1,609

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,05 + 5 = 2,9.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4836

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−1,2) = 0,5987 − 0,1151 = 0,4836

Ответ

P = 0,4836

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 534 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Ответ

x = 534 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −17,44 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 93,5 − 105 = −11,5

Стандартная ошибка

SE = √(17²/40 + 14²/100) = 3,031

Предельная ошибка

E = 1,96·3,031 = 5,94

Интервал

−11,5 ± 5,94 → [−17,44, −5,56]

Ответ

нижняя граница = −17,44 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·20/4)² = 96,04

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 97

Ответ

n = 97

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Статистика критерия

t = (116,4 − 120)/2 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 133

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·7/2)² = 132,6

Округлите вверх

n = 133

Ответ

n = 133

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9205

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 222/5 = 44,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 18

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 35,2

Коэффициент детерминации

r² = 18²/(10·35,2) = 0,9205

Ответ

r² = 0,9205

Прямая объясняет около 92,05% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,457

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 312/5 = 62,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81

Линия регрессии

b = 81/10 = 8,1

a = 62,4 − 8,1·4 = 30

ŷ = 30 + 8,1·x

Найдите x

x = (58 − 30)/8,1 = 3,457

Ответ

x = 3,457

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income