Через 7 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €40 0004% / 4n = 7
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 7? Найдите остаток долга B.
P = €250 0005,4% / 12N = 300k = 84
B = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €20 000, €15 000. Стоимость капитала — 15 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €4 000, €3 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 000CF3 = 3 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 9 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 5 лет и продаётся за €1 045. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 5P = €1 045
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €2 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.
Бета акций компании равна 1,2 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,2. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,75. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 428.
μ = 500σ = 60x = 428
z =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,15, 0,05, 0,3, 0,2
σ =
12.ВероятностьСложная
В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?
n = 10p = 0,4k = 3
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них меньше 152,4 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 152.4 kg
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 25%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 51 h, известное стандартное отклонение 17 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 57,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,15 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?
p ≈ 0,15E = 0,0295%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
15 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −3,87, стандартное отклонение разностей — 10. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = −3,87sd = 10
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 53 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 37 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 37n₂ = 150
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 86?
n = 6ŷ = 86
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 30273 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·7 = 28
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,321 = €30 273,42
Ответ
PV = €30 273,42
2.Временная стоимость денег
Ответ: B = 209754 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.
N − k = 300 − 84 = 216
B = 1520·(1 − (1 + 0,0045)−216)/0,0045 = €209 753,65
Ответ
B = €209 753,65
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −24580 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 12 000/1,15 = 10 434,78
CF2/(1 + 0,15)2 = 20 000/1,322 = 15 122,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 15 000/1,521 = 9 862,74
Сложите
NPV = €−24 579,60
Ответ
NPV = €−24 579,60
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 12,89 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 480,84
NPV(15%) = −326,29
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 10 + 5·480,84/(480,84 − (−326,29)) = 12,98%
точно: NPV(12,89%) = 0 → IRR = 12,89%
Ответ
IRR = 12,89%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1192 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €30,00, i = 0,0175, N = 18
Приведённая стоимость купонов
€30,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €459,81
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7318 = €731,78
Цена
P = €1 191,59
Ответ
P = €1 191,59
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 3,017 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Численное решение
P(3%) = €1 045,80, P(4%) = €1 000,00
YTM = 3,017%
Ответ
YTM = 3,017%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,958 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·3,5%·(1 − 0,258) = 5,958%
Ответ
WACC = 5,958%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 9,224 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,2/(1 + 0,7·0,2) = 1,053
Пересчёт при новом D/E
βL = 1,053·(1 + 0,7·0,75) = 1,605
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 2% + 1,605·4,5% = 9,224%
Ответ
re = 9,224%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 13,71
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (428 − 500)/60 = −1,2
Ответ
z = −1,2
11.Вероятность
Ответ: σ = 1,564
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 150 kg, σT = 0,5·√6 = 1,225 kg
Стандартизуйте
z = (152,4 − 150)/1,225 = 1,96
Вероятность
P = Φ(1,96) = 0,975
Ответ
P = 0,975
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 89,88 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Обратно к x
x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 баллов
Ответ
x = 89,88 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 7,136 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 51 − 57,5 = −6,5
Стандартная ошибка
SE = √(17²/40 + 6²/80) = 2,77
Предельная ошибка
E = 2,576·2,77 = 7,136
Ответ
E = 7,136 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1225
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,15·0,85/0,02² = 1225
Округлите вверх
n = 1225
Ответ
n = 1225
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,499
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 10/√15 = 2,582
Статистика критерия
t = −3,87/2,582 = −1,499
Ответ
t = −1,499
При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,016
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 53/150 = 0,3533
p̂₂ = 37/150 = 0,2467
p̂ = 90/300 = 0,3
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,3·0,7·(1/150 + 1/150)) = 0,05292
Статистика критерия
z = (0,3533 − 0,2467)/0,05292 = 2,016
Ответ
z = 2,016
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,8448
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92,8
Коэффициент детерминации
r² = −28²/(10·92,8) = 0,8448
Ответ
r² = 0,8448
Прямая объясняет около 84,48% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 20,2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.