CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 10 лет.

PV = €20 000r = 5%t = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 6 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2006% / 12N = 72

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня. Он приносит €17 500 в конце каждого года в течение 5 лет, а затем может быть продан за €12 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF = €17 500S = €12 000n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €23 500 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 7. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €23 500g = 3%n = 7r = 8%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 3,5%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 2% двумя полугодовыми платежами и погашается через 4 лет. Она продаётся за €860. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 2% (2×)n = 4P = €860

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €33,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 1%r_m = 6%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 51, 47, 31, 33, 26.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 72?

μ = 60σ = 12x = 72

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 76 и 115,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 115,75

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 21,5 и стандартное отклонение s = 14. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 21,5s = 1490%t(6) = 1,943

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 17E = 290%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 70,57 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,57s = 10n = 49

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 3. В действительности среднее равно 500,55. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 500,55σ = 3n = 36α = 0,05

β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 16). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 16)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 32974 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,05·10 = 0,5

e^0,5 = 1,649

Будущая стоимость

FV = 20 000·1,649 = €32 974,43

Ответ

FV = €32 974,43

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 17282 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,432 − 1)/0,005 = €17 281,77

Ответ

FV = €17 281,77

Сами вы внесли €14 400; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −10107 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

17 500·3,605 = 63 083,58

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

12 000/1,762 = 6 809,12

NPV

NPV = −80 000 + 63 083,58 + 6 809,12 = −€10 107,29

Ответ

NPV = −€10 107,29

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −17281 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,08))⁷ = 0,7176

PV = 23 500/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,7176) = 132 718,79

NPV

NPV = 132 718,79 − 150 000 = −€17 281,21

Ответ

NPV = −€17 281,21

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 931,7 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,0175, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €91,01

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8407 = €840,73

Цена

P = €931,74

Ответ

P = €931,74

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,988 %

За период

C = €10,00, N = 8

Численное решение

i = 2,994% за полгода

YTM

YTM = 2·2,994% = 5,988%

Ответ

YTM = 5,988%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,2 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 7,2%

Ответ

WACC = 7,2%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,149 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€33,00 = €66 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,5·5% = 8,5%

Веса

V = €71 100 000, E/V = 0,9283, D/V = 0,07173

WACC

WACC = 0,9283·8,5% + 0,07173·5%·(1 − 0,28) = 8,149%

Ответ

WACC = 8,149%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 10,81

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 188/5 = 37,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13,4² + 9,4² + (−6,6)² + (−4,6)² + (−11,6)² = 467,2

Стандартное отклонение

s = √(467,2/4) = 10,81

Ответ

s = 10,81

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,31

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,2

Дисперсия

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

Ответ

Var(X) = 5,31

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 1,609

Разброс X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·0,8047 = 1,609

Ответ

σ_Y = 1,609

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·0,95 + 10 = 11,9.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7983

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−1,6) = 0,8531 − 0,0548 = 0,7983

Ответ

P = 0,7983

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 11,22

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·14/√7 = 10,28

Интервал

21,5 ± 10,28 → [11,22, 31,78]

Ответ

нижняя граница = 11,22

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 196

Выразите n

n = (1,645·17/2)² = 195,5

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 196

Ответ

n = 196

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,101

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Статистика критерия

t = (70,57 − 75)/1,429 = −3,101

Ответ

t = −3,101

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 70,71 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8

z при истинном среднем

z = (500,8 − 500,55)/0,5 = 0,545

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > 0,545) = 29,29%

β = 100% − 29,29% = 70,71%

Ответ

β = 70,71%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,976

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 264/5 = 52,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 216,8

Коэффициент детерминации

r² = 46²/(10·216,8) = 0,976

Ответ

r² = 0,976

Прямая объясняет около 97,6% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,229

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 90/6 = 15

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39

Линия регрессии

b = −39/17,5 = −2,229

a = 15 − (−2,229)·3,5 = 22,8

ŷ = 22,8 − 2,229·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 22,8 + (−2,229)·4,5 = 12,77

Остаток

e = 16 − 12,77 = 3,229

Ответ

e = 3,229

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income