CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €12 0003% / 12n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €10 000 под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €200 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €10 000A = €2002,4% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €15 000, €9 000, €15 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 9 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €14 000, €9 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 9 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 3%n = 12

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 4 лет и продаётся за €945. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 4P = €945

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,75. Стоимость её собственного капитала — 9%, стоимость долга до налогов — 4%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

D/E = 0,75r_e = 9%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €25,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 9,5%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 9,5%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 45, 13, 54, 60, 33, 41, 57.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Какая доля P значений меньше 510?

μ = 500σ = 25x = 510

P =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 5

N =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,5

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 302,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 302,6 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

У 16 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −7,4 и стандартное отклонение 4,8. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 16d̄ = −7,4s_d = 4,899%t(15) = 2,947

нижняя граница = mmHg

16.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,15 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p ≈ 0,15E = 0,0395%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 14 студентов, средний балл 31, стандартное отклонение 2. Группа 2: 7 студентов, средний балл 25,3, стандартное отклонение 6. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 14x̄₁ = 31s₁ = 2n₂ = 7x̄₂ = 25,3s₂ = 6

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 1σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 24,5.

n = 6x = 24,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 15250 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 12 000·(1 + 0,0025)⁹⁶ = 12 000·1,271 = €15 250,42

Ответ

FV = €15 250,42

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 53 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,002/200 = 0,9

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,9)/ln(1,002) = 52,73

Округляем вверх до целых платежей

После 52 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 53

Ответ

N = 53 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3512 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 15 000/1,08 = 13 888,89

CF₂/(1 + 0,08)² = 9 000/1,166 = 7 716,05

CF₃/(1 + 0,08)³ = 15 000/1,26 = 11 907,48

Сложите

NPV = €3 512,42

Ответ

NPV = €3 512,42

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,3 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 578,51

NPV(15%) = −642,72

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·578,51/(578,51 − (−642,72)) = 12,37%

точно: NPV(12,3%) = 0 → IRR = 12,3%

Ответ

IRR = 12,3%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1150 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €22,50, i = 0,015, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€22,50·(1 − 0,6995)/0,015 = €450,68

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6995 = €699,54

Цена

P = €1 150,23

Ответ

P = €1 150,23

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,572 %

Уравнение для доходности

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Численное решение

P(5%) = €964,54, P(6%) = €930,70

YTM = 5,572%

Ответ

YTM = 5,572%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,514 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·4%·(1 − 0,2) = 6,514%

Ответ

WACC = 6,514%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,674 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€25,00 = €50 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·5,5% = 12,25%

Веса

V = €92 000 000, E/V = 0,5435, D/V = 0,4565

WACC

WACC = 0,5435·12,25% + 0,4565·3%·(1 − 0,258) = 7,674%

Ответ

WACC = 7,674%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 16,4

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 303/7 = 43,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,714² + (−30,29)² + 10,71² + 16,71² + (−10,29)² + (−2,286)² + 13,71² = 1613

Стандартное отклонение

s = √(1613/6) = 16,4

Ответ

s = 16,4

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

11.Вероятность

Ответ: N = 3003

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

Ответ

N = 3003

12.Вероятность

Ответ: P = 0,005859

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Сложите

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Ответ

P = 0,005859

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Стандартизуйте

z = (302,6 − 300)/1,732 = 1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 245,8 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Ответ

x = 245,8 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −10,94 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 15, t = 2,947

Предельная ошибка

E = 2,947·4,8/√16 = 3,536

Интервал

−7,4 ± 3,536 → [−10,94, −3,864]

Ответ

нижняя граница = −10,94 mmHg

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 545

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,15·0,85/0,03² = 544,2

Округлите вверх

n = 545

Ответ

n = 545

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,279

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (13·2² + 6·6²)/19 = 14,11

s_p = 3,756

Стандартная ошибка

SE = 3,756·√(1/14 + 1/7) = 1,739

Статистика критерия

t = (31 − 25,3)/1,739 = 3,279

Ответ

t = 3,279

При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 749

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·11/1)² = 748,4

Округлите вверх

n = 749

Ответ

n = 749

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9281

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 351/6 = 58,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 711,5

Коэффициент детерминации

r² = 215²/(70·711,5) = 0,9281

Ответ

r² = 0,9281

Прямая объясняет около 92,81% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 78,38

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 400/6 = 66,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 615

Линия регрессии

b = 615/157,5 = 3,905

a = 66,67 − 3,905·21,5 = −17,29

ŷ = −17,29 + 3,905·x

Прогноз

ŷ = −17,29 + 3,905·24,5 = 78,38

Ответ

ŷ = 78,38

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income