CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 7 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €15 0002% / 12n = 7

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €8 000 под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €125 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €8 000A = €1253,6% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €5 000 в конце каждого года в течение 8 лет, а затем может быть продан за €6 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 000S = €6 000n = 8r = 8%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €36 500, €36 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 36 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 9% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 9%n = 12

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 8 лет и продаётся за €1 105. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 8P = €1 105

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €51,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 28%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 7,5%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 26, 24, 57, 20, 17, 48, 39.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 10?

μ = 50σ = 20x = 10

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 5

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,5

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0367. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0367

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 85% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 21,5 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 21,5s = 2090%t(14) = 1,761

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 37E = 2,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 56 mm, известное стандартное отклонение линии 17 mm. Линия 2: выборка из 40 деталей имеет среднее 51,3 mm, известное стандартное отклонение 10 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 56 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 40x̄₂ = 51,3 mmσ₂ = 10 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 12E = 195%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (8, 47). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(8, 47)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 13042 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·7 = 84

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,15 = €13 041,89

Ответ

PV = €13 041,89

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 72 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,003/125 = 0,808

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,808)/ln(1,003) = 71,17

Округляем вверх до целых платежей

После 71 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 72

Ответ

N = 72 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 1975 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

5 000·5,747 = 28 733,19

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

6 000/1,851 = 3 241,61

NPV

NPV = −30 000 + 28 733,19 + 3 241,61 = €1 974,81

Ответ

NPV = €1 974,81

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 28,87 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 2 240,00

NPV(30%) = −621,30

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·2 240,00/(2 240,00 − (−621,30)) = 28,91%

точно: NPV(28,87%) = 0 → IRR = 28,87%

Ответ

IRR = 28,87%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 855 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,045, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €507,34

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,3477 = €347,70

Цена

P = €855,05

Ответ

P = €855,05

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,474 %

Уравнение для доходности

€1 105 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33

YTM = 3,474%

Ответ

YTM = 3,474%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,129 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·4%·(1 − 0,258) = 8,129%

Ответ

WACC = 8,129%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,365 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€51,50 = €257 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·5% = 6,5%

Веса

V = €267 500 000, E/V = 0,9626, D/V = 0,03738

WACC

WACC = 0,9626·6,5% + 0,03738·4%·(1 − 0,28) = 6,365%

Ответ

WACC = 6,365%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 15,23

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 231/7 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7)² + (−9)² + 24² + (−13)² + (−16)² + 15² + 6² = 1392

Стандартное отклонение

s = √(1392/6) = 15,23

Ответ

s = 15,23

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

11.Вероятность

Ответ: P = 0,3182

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Ответ

P = 0,3182

12.Вероятность

Ответ: P = 0,0625

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁷ = 0,007813

P(X = 1) = 7·0,5·0,5⁶ = 0,05469

Сложите

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

Ответ

P = 0,0625

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,79

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0367 = 0,9633

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9633 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,79

Ответ

z = 1,79

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 542 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,85

z из таблицы

z ≈ 1,04

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Ответ

x = 542 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 9,094

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·20/√15 = 9,094

Ответ

E = 9,094

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1454

Выразите n

n = (2,576·37/2,5)² = 1454

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1454

Ответ

n = 1454

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,901

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(17²/80 + 10²/40) = √6,113 = 2,472

Статистика критерия

z = (56 − 51,3)/2,472 = 1,901

Ответ

z = 1,901

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 554

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·12/1)² = 553,2

Округлите вверх

n = 554

Ответ

n = 554

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9937

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 240/6 = 40

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 614

Коэффициент корреляции

r = 103/√(17,5·614) = 0,9937

Ответ

r = 0,9937

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,667

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 310/6 = 51,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

Линия регрессии

b = 274/70 = 3,914

a = 51,67 − 3,914·8 = 20,35

ŷ = 20,35 + 3,914·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 20,35 + 3,914·8 = 51,67

Остаток

e = 47 − 51,67 = −4,667

Ответ

e = −4,667

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income