CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 3 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0004% / 4n = 3

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €150 в конце каждого месяца в течение 15 лет. Счёт даёт 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1502,4% / 12N = 180

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €14 000, €10 000, €8 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 10 000CF₃ = 8 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €17 500, €16 500, €19 500, €13 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 8 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 16 500CF₃ = 19 500CF₄ = 13 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 7 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 2,5%n = 7

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 7 лет и продаётся за €950. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 7P = €950

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €5 000 000, долг — €2 000 000. Её WACC равна 10,68%, стоимость долга до налогов — 3%, ставка налога — 21%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 10,68%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €31,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 20%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 40, 56, 30, 48, 53.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 164.

μ = 170σ = 12x = 164

z =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 4

P =

12.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,25 и €150 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€6: p = 0,25€150: p = 0,02

E(G) = €

13.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 28,3 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 83,5 и стандартное отклонение s = 18. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 83,5s = 1899%t(8) = 3,355

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 11. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 11E = 295%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 502,9 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 10n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 15E = 199%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 116Σx² = 364Σy² = 2630Σxy = 976

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (19,5, 75). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(19,5, 75)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 44372 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·3 = 12

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,127 = €44 372,46

Ответ

PV = €44 372,46

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 32461 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·15 = 180

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,433 − 1)/0,002 = €32 461,06

Ответ

FV = €32 461,06

Сами вы внесли €27 000; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −3834 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 10 000/1,254 = 7 971,94

CF₃/(1 + 0,12)³ = 8 000/1,405 = 5 694,24

Сложите

NPV = €−3 833,82

Ответ

NPV = €−3 833,82

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 17,15 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

17 500·1,08³ = 22 044,96

16 500·1,08² = 19 245,60

19 500·1,08¹ = 21 060,00

13 000·1,08⁰ = 13 000,00

TV = 75 350,56

MIRR

MIRR = (75 350,56/40 000)^1/4 − 1 = 17,15%

Ответ

MIRR = 17,15%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 968,1 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,0125, N = 14

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €127,71

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8404 = €840,37

Цена

P = €968,07

Ответ

P = €968,07

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,959 %

Уравнение для доходности

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Численное решение

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €947,94

YTM = 7,959%

Ответ

YTM = 7,959%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 14 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Долговая часть WACC

0,2857·3%·(1 − 0,21) = 0,6771%

Стоимость собственного капитала

r_e = (10,68% − 0,6771%)/0,7143 = 14%

Ответ

r_e = 14%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,989 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€31,00 = €155 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4% = 9,2%

Веса

V = €194 200 000, E/V = 0,7981, D/V = 0,2019

WACC

WACC = 0,7981·9,2% + 0,2019·4%·(1 − 0,2) = 7,989%

Ответ

WACC = 7,989%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 9,67

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 267/6 = 44,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,5)² + (−4,5)² + 11,5² + (−14,5)² + 3,5² + 8,5² = 467,5

Стандартное отклонение

s = √(467,5/5) = 9,67

Ответ

s = 9,67

10.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (164 − 170)/12 = −0,5

Ответ

z = −0,5

11.Вероятность

Ответ: P = 0,3818

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Ответ

P = 0,3818

12.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,5 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,25), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,25 + 147·0,02 − 3·0,73 = 1,5 €

Ответ

E(G) = 1,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9306

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Ответ

P = 0,9306

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 39,69 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Ответ

x = 39,69 min

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 20,13

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Предельная ошибка

E = 3,355·18/√9 = 20,13

Ответ

E = 20,13

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 117

Выразите n

n = (1,96·11/2)² = 116,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 117

Ответ

n = 117

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерия

t = (502,9 − 500)/1 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 1494

Выразите n

n = (2,576·15/1)² = 1493

Округлите вверх

n = 1494

Ответ

n = 1494

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,996

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 976 − 42·116/6 = 164

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2630 − 116²/6 = 387,3

Коэффициент корреляции

r = 164/√(70·387,3) = 0,996

Ответ

r = 0,996

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,162

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 530/6 = 88,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 534

Линия регрессии

b = 534/157,5 = 3,39

a = 88,33 − 3,39·22,5 = 12,05

ŷ = 12,05 + 3,39·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 12,05 + 3,39·19,5 = 78,16

Остаток

e = 75 − 78,16 = −3,162

Ответ

e = −3,162

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income