Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 4 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 7 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €20 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €300 в конце каждого месяца в течение 18 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €3003% / 12N = 216
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €24 000, €19 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €40 000 и приносит €30 000, €14 500, €28 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 30 000CF2 = 14 500CF3 = 28 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 3 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) при доходности к погашению 4%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 5,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 3y0 = 4%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 2% двумя полугодовыми платежами и погашается через 7 лет. Она продаётся за €879. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 2% (2×)n = 7P = €879
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.
У компании 2 000 000 акций, торгующихся по €21,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €21 500 000. Она только что выплатила дивиденд €2,50 на акцию, дивиденды растут на 3% в год. Рыночная стоимость её долга — €12 900 000, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 80.
μ = 70σ = 10x = 80
z =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
12.ВероятностьСложная
В тесте 7 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?
n = 7p = 0,5k = 2
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,6915. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,6915
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 100 балловσ = 15 баллов85%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 122,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 115 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
12 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 1,87, стандартное отклонение разностей — 8,1. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 1,87sd = 8,1
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 399%
n =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 94?
n = 6ŷ = 94
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 666667 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 12 000/1,07 = 11 214,95
CF2/(1 + 0,07)2 = 24 000/1,145 = 20 962,53
CF3/(1 + 0,07)3 = 19 000/1,225 = 15 509,66
Сложите
NPV = €−12 312,86
Ответ
NPV = €−12 312,86
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 38,01 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(35%) = 1 558,71
NPV(40%) = −969,39
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €10,00, N = 14
Численное решение
i = 1,999% за полгода
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,999%
Ответ
YTM = 3,999%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,529 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·13% + 0,4286·7%·(1 − 0,3) = 9,529%
Ответ
WACC = 9,529%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 12,39 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (80 − 70)/10 = 1
Ответ
z = 1
11.Вероятность
Ответ: σ = 0,8367
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Дисперсия
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Ответ
σ = 0,8367
12.Вероятность
Ответ: P = 0,1641
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,3085 внутри таблицы и считайте z.
z = −0,50
Ответ
z = −0,50
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 84,4 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,15
z из таблицы
z ≈ −1,04
Возврат к исходным единицам
x = 100 − 1,04·15 = 84,4 баллов
Ответ
x = 84,4 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 13,74 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 122,5 − 115 = 7,5
Стандартная ошибка
SE = √(18²/40 + 9²/40) = 3,182
Предельная ошибка
E = 1,96·3,182 = 6,237
Интервал
7,5 ± 6,237 → [1,263, 13,74]
Ответ
верхняя граница = 13,74 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
16.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −1,036 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (8·6² + 12·8²)/20 = 52,8
sp = 7,266
Предельная ошибка
E = 2,845·7,266·√(1/9 + 1/13) = 8,964
Интервал
−10 ± 8,964 → [−18,96, −1,036]
Ответ
верхняя граница = −1,036 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 0,7997
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 8,1/√12 = 2,338
Статистика критерия
t = 1,87/2,338 = 0,7997
Ответ
t = 0,7997
При df = 11 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,201; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 19
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (2,576·5/3)² = 18,43
Округлите вверх
n = 19
Ответ
n = 19
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,8981
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 203/5 = 40,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Syy = Σ(y − ȳ)² = 349,2
Коэффициент детерминации
r² = 112²/(40·349,2) = 0,8981
Ответ
r² = 0,8981
Прямая объясняет около 89,81% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 24,84
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 556/6 = 92,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 624
Линия регрессии
b = 624/157,5 = 3,962
a = 92,67 − 3,962·24,5 = −4,4
ŷ = −4,4 + 3,962·x
Найдите x
x = (94 − (−4,4))/3,962 = 24,84
Ответ
x = 24,84
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.