CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 3 лет.

PV = €20 0003,6% / 12n = 3

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 8 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1003% / 12N = 96

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €44 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 11 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €44 000g = 3%r = 11%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €20 500 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 8. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €20 500g = 5%n = 8r = 10%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 2,5%n = 8

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 10 лет и продаётся за €1 115. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 10P = €1 115

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €50,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 60, 37, 51, 49.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 67,2.

μ = 60σ = 12x = 67,2

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,25

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6827. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6827

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

У 12 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −0,9 и стандартное отклонение 5. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 12d̄ = −0,9s_d = 590%t(11) = 1,796

E = mmHg

16.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 0,9 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.

n = 15s = 0,9 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 104,2 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,2s = 20n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 15E = 299%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 25Σy = 180Σx² = 165Σy² = 6706Σxy = 994

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 22277 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·3 = 36

Будущая стоимость

FV = 20 000·(1 + 0,003)³⁶ = 20 000·1,114 = €22 277,35

Ответ

FV = €22 277,35

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 10835 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·8 = 96

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,271 − 1)/0,0025 = €10 834,74

Ответ

FV = €10 834,74

Сами вы внесли €9 600; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 50000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 44 000/(0,11 − 0,03) = 550 000,00

NPV

NPV = 550 000,00 − 500 000 = €50 000,00

Ответ

NPV = €50 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −22590 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,1))⁸ = 0,6892

PV = 20 500/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,6892) = 127 410,01

NPV

NPV = 127 410,01 − 150 000 = −€22 589,99

Ответ

NPV = −€22 589,99

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1324 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,0125, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €504,71

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8197 = €819,75

Цена

P = €1 324,46

Ответ

P = €1 324,46

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,476 %

Уравнение для доходности

€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Численное решение

P(5%) = €1 154,43, P(6%) = €1 073,60

YTM = 5,476%

Ответ

YTM = 5,476%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,127 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·12% + 0,5455·7%·(1 − 0,3) = 8,127%

Ответ

WACC = 8,127%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,374 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€50,00 = €250 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·4,5% = 7,45%

Веса

V = €254 900 000, E/V = 0,9808, D/V = 0,01922

WACC

WACC = 0,9808·7,45% + 0,01922·5%·(1 − 0,3) = 7,374%

Ответ

WACC = 7,374%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 8,66

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 240/5 = 48

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 12² + (−11)² + 3² + 1² = 300

Стандартное отклонение

s = √(300/4) = 8,66

Ответ

s = 8,66

10.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (67,2 − 60)/12 = 0,6

Ответ

z = 0,6

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 98,75

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,35 + 40·0,1 = 22,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,35 + 1600·0,1 = 605

Дисперсия

Var(X) = 605 − 22,5² = 98,75

Ответ

Var(X) = 98,75

12.Вероятность

Ответ: P = 0,244

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75¹⁰ = 0,05631

P(X = 1) = 10·0,25·0,75⁹ = 0,1877

Сложите

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

Ответ

P = 0,244

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 1

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6827)/2 = 0,8413

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8413 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,00

Ответ

z = 1,00

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 565,8 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Ответ

x = 565,8 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,592 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 11, t = 1,796

Предельная ошибка

E = 1,796·5/√12 = 2,592

Ответ

E = 2,592 mmHg

16.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 0,6589 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 14·0,9² = 11,34

Границы для σ²

11,34/26,119 = 0,4342

11,34/5,629 = 2,015

Граница для σ

σ = √0,4342 = 0,6589 µm

Ответ

σ = 0,6589 µm

95 % интервал для σ: [0,6589, 1,419] µm.

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Статистика критерия

t = (104,2 − 100)/2 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 374

Выразите n

n = (2,576·15/2)² = 373,3

Округлите вверх

n = 374

Ответ

n = 374

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9887

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 994 − 25·180/5 = 94

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 6706 − 180²/5 = 226

Коэффициент корреляции

r = 94/√(40·226) = 0,9887

Ответ

r = 0,9887

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 16,24

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 82/6 = 13,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45

Линия регрессии

b = −45/17,5 = −2,571

a = 13,67 − (−2,571)·3,5 = 22,67

ŷ = 22,67 − 2,571·x

Прогноз

ŷ = 22,67 + (−2,571)·2,5 = 16,24

Ответ

ŷ = 16,24

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income