CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 5 лет.

PV = €12 0004% / 4n = 5

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €30 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет под 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €30 0007,2% / 12N = 36

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €100 000 сегодня. Он приносит €10 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 11 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 3%r = 11%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €11 500, €11 000, €12 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 3%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 5 лет. Доходность к погашению — 8%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 6%n = 5YTM = 8%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 2 имеет требуемую доходность 13,5%. Безрисковая ставка — 2,5%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 2r_e = 13,5%r_f = 2,5%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €44,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 30%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 3%r_m = 9%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 24, 58, 57, 57.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 7 человек? Порядок не важен.

n = 7k = 4

N =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,25

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9586. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9586

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 30% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 118 и стандартное отклонение s = 16. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 118s = 1699%t(15) = 2,947

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 16 участков, средний урожай 39 kg, стандартное отклонение 5 kg. Группа участков 2: 5 участков, среднее 48 kg, стандартное отклонение 5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 39s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 48s₂ = 590%t(19) = 1,729

верхняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 498,1 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,1s = 5n = 64

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 290%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 309Σx² = 364Σy² = 17059Σxy = 2444

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 23.

n = 6x = 23

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 14642 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·5 = 20

Будущая стоимость

FV = 12 000·(1 + 0,01)²⁰ = 12 000·1,22 = €14 642,28

Ответ

FV = €14 642,28

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 3446 €

Ежемесячный платёж

i = 0,006, N = 36

A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁶) = €929,06

Всего процентов

I = N·A − P = 36·929,1 − 30 000 = €3 446,11

Ответ

I = €3 446,11

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 25000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 10 000/(0,11 − 0,03) = 125 000,00

NPV

NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00

Ответ

NPV = €25 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 22,3 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

11 500·1,06² = 12 921,40

11 000·1,06¹ = 11 660,00

12 000·1,06⁰ = 12 000,00

TV = 36 581,40

MIRR

MIRR = (36 581,40/20 000)^1/3 − 1 = 22,3%

Ответ

MIRR = 22,3%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1184 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,015, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €322,78

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8617 = €861,67

Цена

P = €1 184,44

Ответ

P = €1 184,44

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 4,439 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 60/1,08 = 55,56, t·PV = 55,56

t = 2: 60/1,166 = 51,44, t·PV = 102,88

t = 3: 60/1,26 = 47,63, t·PV = 142,89

t = 4: 60/1,36 = 44,10, t·PV = 176,41

t = 5: 1060/1,469 = 721,42, t·PV = 3 607,09

Дюрация

P = 920,15

D = 4 084,82/920,15 = 4,439

Ответ

D = 4,439 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (13,5% − 2,5%)/2 = 5,5%

Доходность рынка

r_m = 2,5% + 5,5% = 8%

Ответ

r_m = 8%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,735 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€44,50 = €89 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 0,9·6% = 8,4%

Веса

V = €99 500 000, E/V = 0,8945, D/V = 0,1055

WACC

WACC = 0,8945·8,4% + 0,1055·3%·(1 − 0,3) = 7,735%

Ответ

WACC = 7,735%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,45

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 246/5 = 49,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,8² + (−25,2)² + 8,8² + 7,8² + 7,8² = 834,8

Стандартное отклонение

s = √(834,8/4) = 14,45

Ответ

s = 14,45

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

11.Вероятность

Ответ: N = 35

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Ответ

N = 35

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1584

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75¹² = 0,03168

P(X = 1) = 12·0,25·0,75¹¹ = 0,1267

Сложите

P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584

Ответ

P = 0,1584

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,04

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9586)/2 = 0,9793

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9793 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,04

Ответ

z = 2,04

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 252,6 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,7

z из таблицы

z ≈ 0,52

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

Ответ

x = 252,6 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 129,8

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Предельная ошибка

E = 2,947·16/√16 = 11,79

Интервал

118 ± 11,79 → [106,2, 129,8]

Ответ

верхняя граница = 129,8

16.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −4,571 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (15·5² + 4·5²)/19 = 25

s_p = 5

Предельная ошибка

E = 1,729·5·√(1/16 + 1/5) = 4,429

Интервал

−9 ± 4,429 → [−13,43, −4,571]

Ответ

верхняя граница = −4,571 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,04

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерия

t = (498,1 − 500)/0,625 = −3,04

Ответ

t = −3,04

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 271

Выразите n

n = (1,645·20/2)² = 270,6

Округлите вверх

n = 271

Ответ

n = 271

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9923

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2444 − 42·309/6 = 281

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 17059 − 309²/6 = 1146

Коэффициент корреляции

r = 281/√(70·1146) = 0,9923

Ответ

r = 0,9923

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 73,03

Средние

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 389/6 = 64,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287

Линия регрессии

b = 287/70 = 4,1

a = 64,83 − 4,1·21 = −21,27

ŷ = −21,27 + 4,1·x

Прогноз

ŷ = −21,27 + 4,1·23 = 73,03

Ответ

ŷ = 73,03

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income