CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под 6 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 10 лет.

PV = €20 000r = 6%t = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €20 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €900 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €20 000A = €9004,8% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €39 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €39 000g = 3%r = 10%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €6 000, €4 500, €4 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 500CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 5% до 4,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 4,5%n = 14y₁ = 5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 3% и погашается через 3 лет. Доходность к погашению — 8%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 3%n = 3YTM = 8%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €15,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €22 500 000. Она только что выплатила дивиденд €2,00 на акцию, дивиденды растут на 2% в год. Рыночная стоимость её долга — €22 500 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 5 000 000P₀ = €15,00балансовый собственный капитал = €22 500 000D₀ = €2,00g = 2%D = €22 500 000r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 38, 57, 44, 52.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений меньше 460?

μ = 500σ = 50x = 460

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 5

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 8p = 0,6k = 1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 248,5 и 260 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,5x₂ = 260

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 75,5 и стандартное отклонение s = 2. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 75,5s = 290%t(6) = 1,943

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 34. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 34E = 0,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 79,5, стандартное отклонение 8,5. Группа 2: 11 студентов, средний балл 67,6, стандартное отклонение 9. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 79,5s₁ = 8,5n₂ = 11x̄₂ = 67,6s₂ = 9

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 12. В действительности среднее равно 94.6. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 100μ = 94,6σ = 12n = 36α = 0,10

β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 87?

n = 5ŷ = 87

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 36442 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,06·10 = 0,6

e^0,6 = 1,822

Будущая стоимость

FV = 20 000·1,822 = €36 442,38

Ответ

FV = €36 442,38

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 24 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,004/900 = 0,9111

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,9111)/ln(1,004) = 23,32

Округляем вверх до целых платежей

После 23 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 24

Ответ

N = 24 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 57143 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 39 000/(0,1 − 0,03) = 557 142,86

NPV

NPV = 557 142,86 − 500 000 = €57 142,86

Ответ

NPV = €57 142,86

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 23,01 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 439,81

NPV(25%) = −272,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·439,81/(439,81 − (−272,00)) = 23,09%

точно: NPV(23,01%) = 0 → IRR = 23,01%

Ответ

IRR = 23,01%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = 49,49 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €45,00, i = 0,05, N = 14

€45,00·(1 − 0,5051)/0,05 + €1 000·0,5051 = €445,44 + €505,07 = €950,51

Цена при новой доходности

C = €45,00, i = 0,045, N = 14

€45,00·(1 − 0,54)/0,045 + €1 000·0,54 = €460,03 + €539,97 = €1 000,00

Изменение

ΔP = 1 000,00 − 950,51 = €49,49

Ответ

ΔP = €49,49

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 2,907 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78

t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44

t = 3: 1030/1,26 = 817,65, t·PV = 2 452,94

Дюрация

P = 871,15

D = 2 532,16/871,15 = 2,907

Ответ

D = 2,907 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 12,09 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·14% + 0,1667·3,5%·(1 − 0,28) = 12,09%

Ответ

WACC = 12,09%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 12,73 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2·1,02 = €2,04

r_e = 2,04/15 + 0,02 = 15,6%

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€15,00 = €75 000 000

V = €97 500 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·15,6% + 0,2308·4,5%·(1 − 0,3) = 12,73%

Ответ

WACC = 12,73%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 10,14

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 223/5 = 44,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12,6)² + (−6,6)² + 12,4² + (−0,6)² + 7,4² = 411,2

Стандартное отклонение

s = √(411,2/4) = 10,14

Ответ

s = 10,14

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

11.Вероятность

Ответ: P = 0,3182

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Ответ

P = 0,3182

12.Вероятность

Ответ: P = 0,007864

Формула Бернулли

P(X = 1) = 8·0,6¹·0,4⁷ = 8·0,6·0,001638 = 0,007864

Ответ

P = 0,007864

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5952

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,3) = 0,9772 − 0,3821 = 0,5952

Ответ

P = 0,5952

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 191,7 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Ответ

x = 191,72 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 76,97

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·2/√7 = 1,469

Интервал

75,5 ± 1,469 → [74,03, 76,97]

Ответ

верхняя граница = 76,97

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 30684

Выразите n

n = (2,576·34/0,5)² = 30684

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 30684

Ответ

n = 30684

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,49

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·8,5² + 10·9²)/14 = 78,5

s_p = 8,86

Стандартная ошибка

SE = 8,86·√(1/5 + 1/11) = 4,779

Статистика критерия

t = (79,5 − 67,6)/4,779 = 2,49

Ответ

t = 2,49

При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 7,81 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 100 − 1,282·2 = 97,44

z при истинном среднем

z = (97,44 − 94,6)/2 = 1,418

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.418) = 92.19%

β = 100% − 92,19% = 7,81%

Ответ

β = 7,81%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9891

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 123/6 = 20,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 201

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 583,5

Коэффициент детерминации

r² = 201²/(70·583,5) = 0,9891

Ответ

r² = 0,9891

Прямая объясняет около 98,91% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 25,41

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 407/5 = 81,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

Линия регрессии

b = 357/90 = 3,967

a = 81,4 − 3,967·24 = −13,8

ŷ = −13,8 + 3,967·x

Найдите x

x = (87 − (−13,8))/3,967 = 25,41

Ответ

x = 25,41

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income