Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €8 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 9 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 23 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €2006% / 12N = 276
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €13 000, €12 000, €10 000, €9 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €100 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €10 000 и растёт на 4 % в год до последнего денежного потока в конце года 9. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 4%n = 9r = 12%
NPV = €
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 погашается через 6 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 105 при доходности к погашению 4%. Найдите купонную ставку c в процентах.
F = €1 000n = 6P = €1 105YTM = 4%
c = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 8% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.
F = €1 000купон = 8%n = 4YTM = 5%
D = годы
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 1,2 имеет требуемую доходность 10,2%. Безрисковая ставка — 3%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 1,2re = 10,2%rf = 3%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 4 000 000 акций, торгующихся по €34,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €55 200 000. Она только что выплатила дивиденд €1,80 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €110 400 000, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 82,5.
μ = 60σ = 15x = 82,5
z =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 3 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
3 / 3
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,2 и €20 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€4: p = 0,2€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245 и 259 g? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 259
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов70%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 60 и стандартное отклонение s = 9,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 60s = 9,590%t(8) = 1,86
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 12 участков, средний урожай 48,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Группа участков 2: 5 участков, среднее 39,5 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 48,25 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,25s = 10n = 64
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 75 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 35 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 35n₂ = 80
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 253Σx² = 91Σy² = 10975Σxy = 953
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (30,5, 97). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(30,5, 97)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 133333 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 13 000/1,07 = 12 149,53
CF2/(1 + 0,07)2 = 12 000/1,145 = 10 481,26
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
CF4/(1 + 0,07)4 = 9 000/1,311 = 6 866,06
Сложите
NPV = €7 659,83
Ответ
NPV = €7 659,83
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: NPV = −39158 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: c = 6,003 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Приведённая стоимость номинала
1000·(1 + 0,04)−6 = €790,31
Купон
C = (1105 − 790,31)/5,242 = €60,03
Купонная ставка
c = 60,03/1000 = 6,003%
Ответ
c = 6,003%
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: D = 3,6 годы
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Приведённая стоимость каждого потока
t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19
t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12
t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32
t = 4: 1080/1,216 = 888,52, t·PV = 3 554,07
Дюрация
P = 1 106,38
D = 3 982,71/1 106,38 = 3,6
Ответ
D = 3,6 годы
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 9 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (10,2% − 3%)/1,2 = 6%
Доходность рынка
rm = 3% + 6% = 9%
Ответ
rm = 9%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,517 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (82,5 − 60)/15 = 1,5
Ответ
z = 1,5
11.Вероятность
Ответ: P = 0,2
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2
Ответ
P = 0,2
12.Вероятность
Ответ: E(G) = 0,2 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 3 (p = 0,2), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Математическое ожидание
E(G) = 3·0,2 + 19·0,02 − 1·0,78 = 0,2 €
Ответ
E(G) = 0,2 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8054
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8
Площадь между
P = Φ(1,8) − Φ(−1) = 0,9641 − 0,1587 = 0,8054
Ответ
P = 0,8054
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 59,8 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,3
z из таблицы
z ≈ −0,52
Возврат к исходным единицам
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 баллов
Ответ
x = 59,8 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 65,89
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Предельная ошибка
E = 1,86·9,5/√9 = 5,89
Интервал
60 ± 5,89 → [54,11, 65,89]
Ответ
верхняя граница = 65,89
16.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 18,42 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (11·9² + 4·6²)/15 = 69
sp = 8,307
Предельная ошибка
E = 2,131·8,307·√(1/12 + 1/5) = 9,422
Интервал
9 ± 9,422 → [−0,4223, 18,42]
Ответ
верхняя граница = 18,42 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Статистика критерия
t = (48,25 − 50)/1,25 = −1,4
Ответ
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,271
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 75/250 = 0,3
p̂₂ = 35/80 = 0,4375
p̂ = 110/330 = 0,3333
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,3333·0,6667·(1/250 + 1/80)) = 0,06055
Статистика критерия
z = (0,3 − 0,4375)/0,06055 = −2,271
Ответ
z = −2,271
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9212
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 953 − 21·253/6 = 67,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 10975 − 253²/6 = 306,8
Коэффициент корреляции
r = 67,5/√(17,5·306,8) = 0,9212
Ответ
r = 0,9212
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −5,257
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 486/6 = 81
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 558
Линия регрессии
b = 558/157,5 = 3,543
a = 81 − 3,543·24,5 = −5,8
ŷ = −5,8 + 3,543·x
Прогнозируемое значение
ŷ = −5,8 + 3,543·30,5 = 102,3
Остаток
e = 97 − 102,3 = −5,257
Ответ
e = −5,257
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.