Через 8 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €25 0003% / 4n = 8
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 6 лет вам нужно €50 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €50 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €20 000 сегодня, служит 10 лет, а его эксплуатация обходится в €3 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 5 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €20 000M = €3 000n = 10r = 5%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €25 000 и приносит €11 500, €15 000, €10 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 15 000CF3 = 10 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 7% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 7%n = 6
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 10 лет и продаётся за €1 120. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €22,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 10,5%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 77,5?
μ = 70σ = 5x = 77,5
P =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,2, 0,05, 0,35
Var(X) =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 12p = 0,25
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 420 и 560 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 560
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm10%
x = cm
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 112 и стандартное отклонение s = 19,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 112s = 19,595%t(8) = 2,306
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 32. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 32E = 195%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 14 студентов, средний балл 91,5, стандартное отклонение 7,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 82,4, стандартное отклонение 11,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 24. В действительности среднее равно 197. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 200μ = 197σ = 24n = 64α = 0,05
1 − β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 53?
n = 6ŷ = 53
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 19683 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·8 = 32
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,27 = €19 683,32
Ответ
PV = €19 683,32
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 589,6 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,05−10)/0,05 = 7,722
Цена покупки в пересчёте на год
20 000/7,722 = 2 590,09
EAC
EAC = 2 590,09 + 3 000 = €5 590,09
Ответ
EAC = €5 590,09
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 22,75 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(20%) = 1 076,39
NPV(25%) = −824,00
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €15,00, i = 0,035, N = 12
Приведённая стоимость купонов
€15,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €144,95
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,6618 = €661,78
Цена
P = €806,73
Ответ
P = €806,73
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 4,485 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·3,5%·(1 − 0,25) = 5,984%
Ответ
WACC = 5,984%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,53 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
11.Вероятность
Ответ: Var(X) = 2,26
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,7512 = 0,03168
P(X = 1) = 12·0,25·0,7511 = 0,1267
Сложите
P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584
Ответ
P = 0,1584
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9104
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Площадь между
P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104
Ответ
P = 0,9104
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 169 cm
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,1
z из таблицы
z ≈ −1,28
Возврат к исходным единицам
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Ответ
x = 169 cm
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 127
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·19,5/√9 = 14,99
Интервал
112 ± 14,99 → [97,01, 127]
Ответ
верхняя граница = 127
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 3934
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·32/1)² = 3934
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 3934
Ответ
n = 3934
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,194
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (13·7,5² + 6·11,5²)/19 = 80,25
sp = 8,958
Стандартная ошибка
SE = 8,958·√(1/14 + 1/7) = 4,147
Статистика критерия
t = (91,5 − 82,4)/4,147 = 2,194
Ответ
t = 2,194
При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 25,95 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 200 − 1,645·3 = 195,1
z при истинном среднем
z = (195,1 − 197)/3 = −0,645
Мощность
мощность = P(Z < −0.645) = 25.95%
1 − β = 25,95%
Ответ
1 − β = 25,95%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9835
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 318/5 = 63,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1037
Коэффициент детерминации
r² = 202²/(40·1037) = 0,9835
Ответ
r² = 0,9835
Прямая объясняет около 98,35% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 3,704
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.