CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 8 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €25 0006% / 4n = 8

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €20 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €20 0003% / 12N = 60

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня, служит 4 лет, а его эксплуатация обходится в €1 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 10 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €80 000M = €1 000n = 4r = 10%

EAC = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €10 500, €18 500, €17 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 18 500CF₃ = 17 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 15 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €727 при доходности к погашению 7%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 15P = €727YTM = 7%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 3 лет и продаётся за €1 055. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 3P = €1 055

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций, торгующихся по €20,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €20 500 000. Она только что выплатила дивиденд €0,90 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €41 000 000, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 2 000 000P₀ = €20,50балансовый собственный капитал = €20 500 000D₀ = €0,90g = 5%D = €41 000 000r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 55, 34, 38, 32, 23.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 85?

μ = 70σ = 10x = 85

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

12.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 5p = 0,4k = 1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 407,6 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 407.6 g

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 30% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 27,5 и стандартное отклонение s = 7,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 27,5s = 7,590%t(24) = 1,711

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 11. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 11E = 2,595%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 100; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 104,52. Проверьте H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100. Найдите p-значение p.

μ₀ = 100σ = 12n = 36x̄ = 104,52H₁: μ > μ₀

p =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 497,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 497,8σ = 10n = 10090%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (19,5, 86). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(19,5, 86)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 15525 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·8 = 32

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,61 = €15 524,82

Ответ

PV = €15 524,82

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1562 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 60

A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁶⁰) = €359,37

Всего процентов

I = N·A − P = 60·359,4 − 20 000 = €1 562,43

Ответ

I = €1 562,43

3.NPV и IRR

Ответ: EAC = 26238 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

Цена покупки в пересчёте на год

80 000/3,17 = 25 237,66

EAC

EAC = 25 237,66 + 1 000 = €26 237,66

Ответ

EAC = €26 237,66

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 35,11 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(35%) = 41,41

NPV(40%) = −1 683,67

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 35 + 5·41,41/(41,41 − (−1 683,67)) = 35,12%

точно: NPV(35,11%) = 0 → IRR = 35,11%

Ответ

IRR = 35,11%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 4,003 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,07)⁻¹⁵ = €362,45

Купон

C = (727 − 362,45)/9,108 = €40,03

Купонная ставка

c = 40,03/1000 = 4,003%

Ответ

c = 4,003%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 4,017 %

Уравнение для доходности

€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23

YTM = 4,017%

Ответ

YTM = 4,017%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,76 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·14% + 0,2941·4%·(1 − 0,25) = 10,76%

Ответ

WACC = 10,76%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,805 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 0,9·1,05 = €0,95

r_e = 0,945/20,5 + 0,05 = 9,61%

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€20,50 = €41 000 000

V = €82 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9,61% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 6,805%

Ответ

WACC = 6,805%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 10,68

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 223/6 = 37,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3,833² + 17,83² + (−3,167)² + 0,8333² + (−5,167)² + (−14,17)² = 570,8

Стандартное отклонение

s = √(570,8/5) = 10,68

Ответ

s = 10,68

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

11.Вероятность

Ответ: σ = 2,4

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,3 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,3 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

σ = √5,76 = 2,4

Ответ

σ = 2,4

12.Вероятность

Ответ: P = 0,2592

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 5·0,4¹·0,6⁴ = 5·0,4·0,1296 = 0,2592

Ответ

P = 0,2592

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9772

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (407,6 − 400)/3,795 = 2

Вероятность

P = Φ(2) = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 479 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Ответ

x = 479 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 30,07

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Предельная ошибка

E = 1,711·7,5/√25 = 2,567

Интервал

27,5 ± 2,567 → [24,93, 30,07]

Ответ

верхняя граница = 30,07

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 75

Выразите n

n = (1,96·11/2,5)² = 74,37

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 75

Ответ

n = 75

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,01191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (104,52 − 100)/2 = 2,26

Площадь хвоста

Φ(2,26) = 0,9881

1 − Φ(2,26) = 0,0119

p-значение

p = 0,01191

Ответ

p = 0,01191

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 496,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·10/√100 = 1,645

Граница интервала

L = 497,8 − 1,645 = 496,2

Ответ

L = 496,2

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9819

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 412/6 = 68,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1387

Коэффициент корреляции

r = 306/√(70·1387) = 0,9819

Ответ

r = 0,9819

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −5,3

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 593/5 = 118,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 546

Линия регрессии

b = 546/90 = 6,067

a = 118,6 − 6,067·24 = −27

ŷ = −27 + 6,067·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −27 + 6,067·19,5 = 91,3

Остаток

e = 86 − 91,3 = −5,3

Ответ

e = −5,3

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income